分野: 数列


$S_1=\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\dfrac{1}{2}n(n+1)\\
S_2=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\
S_3=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\}^2$

$S_4=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^4=\dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\\
S_5=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^5=\dfrac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)$


漸化式の $a_n$ や $a_{n-1}$ の係数に $n$ が含まれている場合,両辺に何かしらかけたり割ったりして $f(n+1)a_{n+1}$ と $f(n)a_n$ を作り出せばうまくいくことが多い


ソモスの数列:
$2$ 以上の自然数 $k$ に対して,
初期条件:$a_0=a_1=\cdots=a_{k-1}=1$
および漸化式: $a_na_{n-k}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor k/2\rfloor}a_{n-i}a_{n-k+i}$
で定義される数列をソモスの数列という。


  • 有理数の連分数展開はユークリッドの互除法に対応している
  • 有理数 $\iff$ 連分数展開が有限回で終わる

主に有理数の連分数展開に関する基本的な知識を解説します。連分数を背景とした入試問題もいくつか出題されています。


複利法の計算において $a(1+r)^n=b$ が成立する。
ちなみに単利法の計算では $a(1+nr)=b$ が成立する。

ただし,$a$ は元金,$r$ は年利率,$n$ は年数,$b$ は $n$ 年経過時の金額。


数列の極限は,
1.(有限の値に)収束する
2A.正の無限大に発散する
2B.負の無限大に発散する
3.振動する

のいずれかである。2と3の場合をいずれも発散すると言う。

最初に発散,収束,振動の意味をそれぞれ説明し,後半で具体例をいろいろ紹介します。


無限等比級数 $a+ar+ar^2+\cdots$ は
$-1 <r <1$ のとき収束し,その値は $\dfrac{a}{1-r}$
$r \leq -1, 1\leq r$ のときに発散する。

初項 $a=0$ の場合は全ての項が $0$ となりつまらない(明らかに $0$ に収束する)のでこの記事では $a\neq 0$ の場合を考えます。


円周上に $n$ 個の頂点を打ち,その全ての2頂点間を線分で結ぶ。このとき,円は $M$ 個の領域に分割されるとする。
$M$ の最大値は $a_n=\dfrac{1}{24}(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)$

Moser’s circle problem という問題です。数列 $\{a_n\}$ をモーザー数列と言います。