分野: その他


数学系の研究をするときに必ず使うことになる「TeX」というソフトウェアを紹介します。


大学ではどのような数学を学ぶのか,高校数学と関連させつつ整理しました。より抽象的で美しい世界が待っています。


ミレニアム問題とは,解決したら100万ドルもらえる重大な7つの問題です。7つのうちポアンカレ予想だけは既に解かれています。
残り6つのうち,主張が比較的理解しやすいのはP≠NP予想とリーマン予想です。そこでこのページではP≠NP予想の主張について解説します。


数学の定理の中でいろいろな意味で強いものをピックアップしました。「この定理よりあの定理の方が相応しいと思う」という意見歓迎です。読者の方のご意見を参考に更新したいと思っています。


$i,j,k$ はそれぞれ $1,2,3$ のいずれかとする。このとき,
$\varepsilon_{ijk}=\begin{cases}1&(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\-1&(i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\\0&\mathrm{otherwise}\end{cases}$
となる $\varepsilon_{ijk}$ をレビチビタ記号(エディントンのイプシロン)という。

レビチビタ記号の性質とその証明について。


ブライスのパラドックス(Braess’s paradox):
移動時間短縮のために新しい道路を作った結果,移動時間がかえって長くなってしまうことがある。


(平均律における)音階と周波数比について。等比数列,累乗根という数学の基本的な道具が登場します。


$\exp x$: 指数関数 $e^x$ のこと
$\ln x$: 自然対数 $\log_e x$ のこと
$\lg x$: 2を底とする対数 $\log_2 x$ のこと(を表す場合が多い)

いずれも高校数学では習わない記号ですが,(特に $\exp$,$\ln$ は)知っておくとよいでしょう。


連続最適化問題の有名なクラス:
LP:線形計画問題
QP:二次計画問題
QCQP:二次制約つき二次計画問題
SOCP:二次錐計画問題
SDP:半正定値計画問題

(QP,QCQP の二次項の行列 $Q$ が半正定値という制限のもと)下に行くほど表現力が高い問題です。