分野: 解析


高校数学では三角関数や指数関数の定義域は実数ですが,一般に複素数の三角関数や指数関数を考えることもできます。

一般に複素数の指数関数は,実数の指数関数及び三角関数を用いて以下のように定義される:
$e^{(a+bi)}=e^a(\cos b+i\sin b)\hspace{15mm}(a,b \in \mathbb{R})$


多変数のガウス積分:
$\displaystyle\int \exp(-\dfrac{1}{2}x^{\mathrm{T}}Ax+b^{\mathrm{T}}x)dx=\sqrt{\dfrac{(2\pi)^n}{\det A}}\exp (\dfrac{1}{2}b^{\mathrm{T}}A^{-1}b)$


$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
が成立するとき,関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続という。
また,定義域(考えている区間内)の任意の点 $a$ で関数 $f$ が連続のとき,$f$ を連続関数と呼ぶ。


フレネル積分:
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$

※被積分関数は$(\sin x)^2$ ではなく $x^2$ のサインです。


ディリクレ関数:
実数全体で定義され,有理数のときに $1$,無理数のときに $0$ を取る関数をディリクレ関数と言う。
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
1 & (x\in \mathbb{Q}) \\
0 & (\mathrm{otherwise})
\end{array} \right.$


$s > 1$ なる実数に対してゼータ関数 $\zeta(s)$ は以下のように定義される:
$\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}=\dfrac{1}{1^s}+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\cdots$

(リーマンの)ゼータ関数のごく基本的な話をざっくりと解説します。


テイラーの定理:
$f(x)$ が $a\leq x\leq b$ において $n$ 回微分可能なとき,
$f(b)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f^{(k)}(a)\dfrac{(b-a)^{k}}{k!}+f^{(n)}(c)\dfrac{(b-a)^n}{n!}$
を満たす $c\:(a <c <b$)が存在する。

テイラー展開の根拠となる非常に重要な定理です。


要素が実数である集合 $A$ に対して
$\max A$:$A$ の最大値,maximum(英語),マックス(読み方の例)
$\min A$:$A$ の最小値,minimum,ミン
$\sup A$:$A$ の上限,supremum,スープ
$\inf A$:$A$ の下限,infimum,インフ

大学の解析のしょっぱなで学ぶ $\sup$ の意味について解説します。


フーリエ級数展開:
$f(x)$ が周期 $T$ の「まともな」関数なら
$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos \dfrac{2\pi n x}{T}+b_n\sin \dfrac{2\pi nx}{T}\right)$
ただし,
$a_n=\dfrac{2}{T}\int_0^{T}f(x)\cos\dfrac{2\pi nx}{T}dx$
$b_n=\dfrac{2}{T}\int_0^{T}f(x)\sin\dfrac{2\pi nx}{T}dx$


二変数関数 $f(x,y)$ が $C^{n+1}$ 級なら,
$f(a+h,b+k)\simeq\displaystyle\sum_{t=0}^n\dfrac{1}{t!}(h\dfrac{\partial}{\partial x}+k\dfrac{\partial}{\partial y})^tf(a,b)$
($(x,y)=(a,b)$ における $n$ 次までのテイラー展開)

多変数関数のテイラー展開の意味と具体例を解説します。三変数以上でもほぼ同様なので二変数関数の場合で説明します。


$n$ 次元ベクトル $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n)$ および $1\leq p\leq \infty$ なる $p$ に対して
$\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p}$
を $\overrightarrow{x}$ の $L^p$ ノルムと言い,$\|\overrightarrow{x}\|_p$ と書く。


$(x,y)$ から$(u,v)$ が定まり,$(u,v)$ から $f$ が定まるとき,
$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}$
$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}$


この記事では重積分の計算方法を,例題を通じて解説します。重積分の厳密な定義や順序交換の条件などは専門書を読んで下さい。

なお,二重積分のみ扱います。三重積分なども同様に計算できます。


べき級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ に対して,以下を満たす $\rho$(ただし $0\leq \rho \leq\infty$)が存在する:
$|z| < \rho$ ならこのべき級数は収束
$|z| > \rho$ ならこのべき級数は発散

このような $\rho$ をべき級数の収束半径と言います。