分野: 平面図形


三角形の3辺の長さから素早く面積を求める公式です。

ヘロンの公式

3辺の長さが $a, b, c$ の三角形の面積 $S$ は,
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c}{2}\\$


内心と外心の距離を求める公式です。

内接円の半径を $r$,外接円の半径を $R$ とおくとき,外心 $O$ と内心 $I$ との距離 $d$ は以下の式で表される:
$d^2=R^2-2Rr$

非常に美しい定理です。


トレミーの定理:円に内接する四角形 $ABCD$ において, $AB×CD+AD×BC=AC×BD$

トレミーの定理

非常に美しい定理で応用も広いです。
大学入試問題では,検算に用いる場合が多いです。

本記事ではトレミーの定理の2通りの証明と,トレミーの定理の応用例を3つ紹介します。まずは応用例から!


ブラーマグプタの公式;
円に内接する四角形 $ABCD$ において $AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$ とおくと,四角形 $ABCD$ の面積は,
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおいた。


一般的な四角形の面積を求める公式(ブラーマグプタの公式の一般化)。

ブレートシュナイダーの公式:
四角形 $ABCD$ において,$AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$, $∠BAD+∠BCD=θ$とおくと,
四角形の $ABCD$ の面積 $S$ は,
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2(\frac{\theta}{2})}$
ただし,$s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおいた。

四角形が円に内接する場合 $\theta=180^\circ$ より,ブレートシュナイダーの公式はブラーマグプタの公式と一致します。


チェバの定理

チェバの定理:
三角形 $ABC$ と内部の点 $P$ に対して,$AP$ と $BC$ の交点を $D$, $BP$ と $CA$ の交点を $E$, $CP$ と $AB$ の交点を $F$,とおくとき,
$\dfrac{AF}{FB}\dfrac{BD}{DC}\dfrac{CE}{EA}=1$


レームスの定理

シュタイナーレームス(Steiner-Lehmus)の定理:
三角形 $ABC$ において $\angle B$ の二等分線と $AC$ の交点を $D$,$\angle C$ の二等分線と $AB$ の交点を $E$ とおく。
$BD=CE$ ならば $\angle B=\angle C$


ケージーの定理

ケージーの定理(Casey’s Theorem):
互いに交わらない4つの円 $O_1,O_2,O_3,O_4$ がそれぞれ点 $A,B,C,D$ で別の円 $O$ に(この順番に)内接しているとき,円 $i$ と $j$ の共通外接線の長さを $l_{ij}$ とおくと,
$l_{12}\cdot l_{34}+l_{14}\cdot l_{23}=l_{13}\cdot l_{24}$


2つの円の位置関係は5通りあり,中心間の距離と半径によって状況が変わってくるのでどのパターンなのか把握することが重要です。このページでは5通りの分類,交点,接線,相似の中心について整理します。


問題

正方形の4頂点を結ぶ方法で,使う線分の長さの総和が最も短いものを求めよ

正方形以外の場合にも拡張できますが,正方形の場合の結果が特に有名な問題です。


今年の数学オリンピックの問題です:

数学オリンピック2014

問題

鋭角三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に $\angle PAB=\angle BCA,$ $\angle CAQ=\angle ABC$ となるように取る。また,$AM$ の中点が $P$,$AN$ の中点が $Q$ となるように $M,N$ を取る。
このとき $BM$ と $CN$ の交点 $X$ が $ABC$ の外接円上にあることを証明せよ。


アポロニウスの円がなぜ嬉しいのか?

アポロニウスの円

アポロニウスの定理:
2点 $A,B$ からの距離の比が $m:n$ で一定である点の軌跡は円である。これをアポロニウスの円と呼ぶ。

なお,$m=n$ のときの軌跡は $AB$ の垂直二等分線になりますが,これを半径無限大の円とみなすとアポロニウスの定理は崩れません。


三角形の成立条件(存在条件):三辺の長さが $a,\:b,\:c$ である三角形が存在する必要十分条件は,
$a+b > c$ かつ $b+c > a$ かつ $c+a > b$

三角形の成立条件とその証明を詳しく解説します。


ニュートンの定理

ニュートンの定理:
中心が $O$ である円に外接する四角形 $ABCD$ において対角線 $AC$ と $BD$ の中点をそれぞれ $M,\:N$ とおくと,$M,\:N,\:O$ は同一直線上にある。この直線をニュートン線と呼ぶ。


反転変換:
中心 $O$,半径 $r$ の円 $\Gamma$ がある。このとき,円 $\Gamma$ による反転を以下のように定義する。
$P$ の行き先は,半直線 $OP$ 上の点で,$OP\times OP’=r^2$ を満たす点 $P’$

数学オリンピックでたまに使える「反転」という手法についての基礎的な事柄を解説します。


デザルグの定理

デザルグの定理:
三角形 $ABC$ と $A’B’C’$がある。このとき,
$AA’$,$BB’$,$CC’$が一点 $O$ で交わる
→ $AB$ と $A’B’$の交点 $P$,$BC$ と $B’C’$の交点 $Q$,$CA$ と $C’A’$の交点 $R$ は同一直線上にある。


メネラウスの定理

メネラウスの定理:
右の図において, $\dfrac{AD}{DB}\dfrac{BE}{EC}\dfrac{CF}{FA}=1$

メネラウスの定理の二通りの覚え方(見方)と定理の拡張について解説します。玄人は覚え方2以降がオススメです。


等角共役点について

等角共役点:三角形 $ABC$ と点 $P$ がある。
角の頂点を通る直線 $l$ と角の二等分線に関して対称な直線 $m$ を $l$ の等角共役線という。
$AP,\:BP,\:CP$ の等角共役線は一点で交わり,これを $P$ の等角共役点という。

平面図形の非常に美しい定理です。


正五角形を(定規とコンパスのみを使って)作図する方法を解説します。

正五角形の作図の原理を理解するために,まずは1辺が1の正五角形の対角線の長さについて考えます。とにかく作図方法だけ知りたい!という方はページ下部のグレー背景部分(2箇所)のみ読んで下さい。


  • 難関大の図形問題は「どの道具を使って解答するか」から考える必要があることも。
  • 昔の東大入試では簡単な問題も出題されている。

東大の問題とその解説を通じて「図形問題における道具選び」について考えます。


キエペルトの定理

Kiepert(キエペルト,キーペルト)の定理:
三角形 $ABC$ の外側(または内側)に相似な二等辺三角形 $ABF,BCD,CAE$ をつくる。このとき,$AD,BE,CF$ は一点 $X$ で交わる。

垂心,フェルマー点,ナポレオン点などを包含している非常に美しい定理です。