分野: 指数・対数関数


紐の両端を手で持ってたらした曲線の式は
$y=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}+e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}$

この曲線は懸垂線またはカテナリーと呼ばれる非常に有名な曲線です。懸垂線に関する入試問題はたまに出題されるので,知っておくべき性質をまとめた後に導出を紹介します。


今回は入試でもしばしばテーマになる数列「nのn乗根」について,覚えておくべき性質を3つ解説します。
$a_1=1,a_2=\sqrt{2},a_3=\sqrt[3]{3},\cdots$


方針1:指数関数のグラフは,以下の三点を調べて,それをいい感じにつなげれば簡単に書ける

  • $x$ が十分小さいとき($x\to -\infty$)
  • $x=0$ のとき
  • $x$ が十分大きいとき($x\to\infty$)

正の実数 $a$ と任意の実数 $x$ に対して $a^x$ を以下のように定義する:
1. $x$ が正の整数のとき,$a^x=$($a$ を $x$ 回かけたもの)
2. $x$ が $0$ のとき,$a^x=1$
3. $x$ が負の整数のとき,$a^x=\dfrac{1}{a^{-x}}$
4. $x$ が有理数 $\dfrac{q}{p}$ のとき,$a^x=(\sqrt[p]a)^q$
5. $x$ が無理数のとき,$f(x)=a^x$ が連続関数になるようにつなげる