2014/05/18

分数関数の極値を求める2つのテクニック

分野: 極限,微分  レベル: 入試対策

分数関数の極値を求めるテクニックを2つ紹介します。

1つ目は $y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の形の関数ならどんなものでも使える実践的なテクニック,
2つ目は分母が2次式,分子が1次式の場合にのみ使えるエレガントなテクニックです。

分数関数の極値を求めるテクニック1

1:$y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が $x=\alpha$ で極値を取るとき,$g'(\alpha)\neq 0$ ならその値は $\dfrac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)}$ である。

  • $g'(\alpha)\neq 0$ という条件はほとんどの場合成立します。
  • 公式の導出:$h'(\alpha)=0$ なら商の導関数の公式より $f'(\alpha)g(\alpha)-g'(\alpha)f(\alpha)=0$ が成り立つので両辺を $g(\alpha)g'(\alpha)$ で割って公式を得る。
  • 検算テクニックとしては有効ですが,記述式の試験で証明なしで使うのは好ましくありません。解答中には証明を添えるか正攻法で求めましょう。

・例:$h(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$ を微分して $h'(x)=0$ の解を求めると $x=-1\pm\sqrt{2}$ 。 $h(-1\pm\sqrt{2})$ を直接計算するのはめんどうだが,$h(x)$ の分母分子をそれぞれ微分して $\dfrac{1}{2x}$ とした上で $x=-1\pm\sqrt{2}$ を代入すると計算が楽。

・数学教師である安田氏によって発見された公式なので「安田の公式」とも呼ばれています。

分数関数の極値を求めるテクニック2

2:分母が二次関数,分子が一次関数なら微分を用いずに相加相乗平均の不等式を用いて極値を求めることができる。

さっきの例を用いて解説します。

$h(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$
$x=-1$ のとき $h(x)=0$,
$x\neq -1$ のとき,
$\dfrac{1}{h(x)}=\dfrac{x^2+1}{x+1}\\
=x-1+\dfrac{2}{x+1}\\
=x+1+\dfrac{2}{x+1}-2$
よって,$x > -1$ のとき相加相乗平均の不等式より $\dfrac{1}{h(x)}\geq 2\sqrt{2}-2$(等号成立条件は $x=-1+\sqrt{2}$)
つまり,$h(x)$ は $x=-1+\sqrt{2}$ で極大値 $\dfrac{1}{2\sqrt{2}-2}$ を取ることが分かる。
また,$x <-1$ のときも同様に $\dfrac{1}{h(x)}\leq -2\sqrt{2}-2$
つまり,$h(x)$ は $x=-1-\sqrt{2}$ で極小値 $\dfrac{1}{-2\sqrt{2}-2}$ を取ることが分かる。

デメリット:
・場合わけや極値が2つしかないことを説明するのがめんどくさいので解答には不向き,とりあえずは素直に微分を用いるべし。

メリット:

  • 検算テクニックになるので時間が余ったらこの方法で確認してもよい。
  • 微分を用いないのがかっこいい
検算の道具をいくつも用意しておくことも重要です

Tag: 大学入試で頻出の有名な関数まとめ

分野: 極限,微分  レベル: 入試対策