2016/02/01

ボールウェイン積分

分野: 積分  レベル: マニアック

$0$ 以上の整数 $n$ と,$\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_k|\leq 1$ を満たす実数 $a_1,\cdots, a_n$ に対して,
$\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^n\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)dx=\dfrac{\pi}{2}$


非常に美しい積分公式です。高校生でも頑張れば雰囲気はつかめると思います。

ボールウェイン積分について

  • $n=0$ の場合は($\displaystyle\prod_{k=1}^0$ は $1$ とみなす),$\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}$ という有名な積分(ディリクレ積分)になります。
  • $a_k$ の値によらず,積分値が一定というのが美しいです。
  • $\dfrac{\sin x}{x}$ はsinc関数と呼ばれる有名な関数です。→sinx/xについて覚えておくべき2つのこと
  • なお,$a_k=0$ となる場合,左辺の分母が $0$ になってしまいますが,その場合は両辺に $a_k$ をかけた式が ($0=0$ となり)成立している,と考えてください。

$n=0,1$ の場合

$n=0$ の場合は省略します。$n=1$ の場合:
$\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x\sin ax}{ax^2}dx=\dfrac{\pi}{2}$
を $n=0$ の場合に帰着することで証明します。

$n=1$ の場合の証明

積和公式:
$\sin x\sin ax=-\dfrac{1}{2}\cos (a+1)x+\dfrac{1}{2}\cos (a-1)x$
および部分積分を用いると,左辺は,
$\displaystyle\int_0^{\infty}\sin x\sin ax\cdot\dfrac{1}{ax^2}dx\\
=\displaystyle\left[-\dfrac{\sin x\sin ax}{ax}\right]_0^{\infty}\\+\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{(a+1)\sin (a+1)x-(a-1)\sin (a-1)x}{2ax}dx\\
=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{(a+1)\sin (a+1)x}{2ax}dx-\int_0^{\infty}\dfrac{(a-1)\sin (a-1)x}{2ax}dx$

ここで,$y=(a+1)x,z=(a-1)x$ と置換すると,上式は,
$\dfrac{a+1}{2a}\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin y}{y}dy-\dfrac{a-1}{2a}\int_0^{-\infty}\dfrac{\sin z}{z}dz\\
=\dfrac{a+1}{2a}\cdot \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{a-1}{2a}\cdot \dfrac{\pi}{2}\\
=\dfrac{\pi}{2}$

証明(完結編)

冒頭の公式を帰納法で証明します。

証明

$n\:(\geq 1)$ の場合を仮定して $n+1$ の場合を証明する。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}|a_k|\leq 1$ を満たす実数 $a_1,\cdots, a_{n+1}$ が与えられた状況を考える。

三角不等式より $|t|\leq |a_{n+1}|$ なる $t$ に対して $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}|a_k|+|a_n\pm t|\leq 1$ であるので帰納法の仮定により,
$\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)\dfrac{\sin(a_n\pm t)x}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}(a_n\pm t)$
プラス側の式とマイナス側の式を加えて和積公式を使うと,
$2\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)\dfrac{\sin a_nx}{x} \cos txdx=\pi a_n$

次に,両辺 $t$ で $0$ から $a_{n+1}$ まで積分する(積分の順序交換は認める)と,
$2\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)\dfrac{\sin a_nx}{x} \dfrac{\sin a_{n+1}x}{x}dx=\pi a_na_{n+1}$

両辺 $2a_na_{n+1}$ で割ると求める式を得る。

なお,この記事は
D. Borwein, J. M. Borwein: Some remarkable properties of sinc and related integrals.
という文献を参考にしています。

$n=1$ の場合の証明は知人のY氏に教えてもらったものです,感謝!
分野: 積分  レベル: マニアック