2014/11/23

指数関数の極限と爆発性

分野: 極限,微分  レベル: 入試対策

$x\to\infty$ の極限において,無限に大きくなるスピードは,
$x$ の対数関数 $\ll$ $x$ の多項式 $\ll$ $x$ の指数関数

$\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形極限の重要な話題です。

なお,多項式というと指数が非負整数に限られますが,この記事に限っては $x^{0.1}$ など指数が任意の非負実数のものを一般に多項式と呼んでいます。

指数関数と多項式の極限の勝負

「多項式 $\ll$ 指数関数」を実際に極限の式で書き下してみます。

$r\geq 0,\: a > 1$ のとき以下が成立する:
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{a^x}{x^r}=\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^r}{a^x}=0$

上記の極限の式を丸ごと覚えるのではなくて,「指数関数は無限大で多項式よりはるかに強い」と覚えておきましょう。

どんな多項式よりも発散のスピードが速いということから,指数関数の発散を「爆発」と表現することがあります。


例1

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2^x}{x^{10000}}=\infty$

一見信じがたいですが,無限大では $x^{10000}$ よりも $2^x$ の方が強いのです。


例2

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{3x^2+x+1}=\infty$

例2のように $a$ がネイピア数 $e$ であるような場合が超頻出です。また,(当然ですが)多項式の項は複数あっても構いません(指数関数に勝てません)。


例3

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{1.1^n}=0$

関数の極限を数列の極限にしても同様な公式が成立します。

対数関数と多項式の極限の勝負

$r > 0$ のとき以下が成立する:
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^r}{\log x}=\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x^r}=0$

こちらも極限の式を丸ごと覚えるのではなくて,「多項式は無限大で対数関数よりはるかに強い」と覚えておきましょう。


例4

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\log x}=\infty$

$r=\dfrac{1}{2}$ としたものです。


指数関数の方の公式を認めてしまえば,対数関数の公式は簡単に導けます。実際,$\displaystyle\lim_{y\to\infty}\dfrac{(e^r)^y}{y}=\infty$ において $e^y=x$ とおけば $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^r}{\log x}=\infty$ となり,対数関数の公式が導けます。逆も然りです。よって,指数関数バージョンの公式と対数関数バージョンの公式は本質的に同じものです。以下では指数関数バージョンを証明します。

指数関数の爆発性の証明

$a > 1$,$r > 0$ に対して $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{a^x}{x^r}=\infty$ を証明します。二項定理を使って指数関数を展開します。二項定理を使うために $x$ を整数に限る必要があるためガウス記号を導入します。

証明

$x$ を超えない最大の整数を $\lfloor x\rfloor$ とおく。→ガウス記号の定義と3つの性質

すると,$a^x \geq a^{\lfloor x\rfloor}$ なので,はさみうちの原理(追い出しの原理)より
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{a^{\lfloor x\rfloor}}{x^r}=\infty$ を証明すればよい。

また,$x$ が十分大きいところでの挙動を考えているので,$x\geq r+1$ としてよい。このとき,二項定理を用いると,
$a^{\lfloor x\rfloor}=\{1+(a-1)\}^{\lfloor x\rfloor}$
$=1+\lfloor x\rfloor(a-1)+\cdots + $($\lfloor x\rfloor$ の $r+1$ 次式)$ (a-1)^{r+1}+\cdots$
この展開を $r+1$ 次の項で打ち切ったもの $P(x)$ は $\lfloor x\rfloor$ の $r+1$ 次式であり,$r+1$ 次の係数は正である。

よって,$\dfrac{a^{\lfloor x\rfloor}}{x^r} > \dfrac{P(x)}{x^r}$ となり右辺は $x\to\infty$ で無限大に発散するので題意は示された。

注:なお,マクローリン型不等式:
$e^x > 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}$ を知っていれば
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x^r}=\infty$ はすぐに分かります。

注2:ロピタルの定理を認めてしまえば,ロピタルの定理を繰り返し使うことでも証明できます。→ロピタルの定理の条件と例題
→マクローリン型不等式(指数関数)

「爆発的に発散する」と言えば組み合わせ爆発ですね(「数え上げおねえさん」で検索してみてください)。
分野: 極限,微分  レベル: 入試対策