2014/07/14

アステロイド曲線の重要な性質まとめ

分野: いろんな関数  レベル: 最難関大学

$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ で表される曲線をアステロイド曲線(星芒形)と呼ぶ。

アステロイド曲線の媒介変数表示

アステロイド

・アステロイド曲線は媒介変数 $\theta$ を用いて
$x=a\cos^3 \theta, y=a\sin^3\theta$
と表すことができます。

・アステロイド曲線は,半径 $a$ の円内を半径 $\tfrac{a}{4}$ の円が滑らずに転がるときの1点(図の青い点)の軌跡として表されます。
サイクロイド曲線の軌跡と同様にして証明できます。

アステロイドの表示

$\theta$ 回転したあと円の中心 $B$ は$(\tfrac{3}{4}a\cos\theta, \tfrac{3}{4}a\sin\theta)$ となる。
また,$BX$ と $x$ 軸の正の向きがなす角は $\alpha$ は,
$\tfrac{a}{4}(\alpha+\theta)=a\theta$ を満たすので,
$\overrightarrow{BX}=(\tfrac{a}{4}\cos 3\theta, -\tfrac{a}{4}\sin 3\theta)$
よって,$X$ の座標は,三倍角の公式を用いることにより
$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BX}=(a\cos^3\theta, a\sin^3 \theta)$
であることが分かり,アステロイドの媒介変数表示と一致する。

・アステロイド曲線は,長さ $1$ の線分が(端点はそれぞれ $x$ 軸,$y$ 軸上を動く)移動するときの包絡線として表されます。(証明は省略,よい練習問題になる)

アステロイド曲線の面積

媒介変数表示された曲線で囲まれた部分の面積公式に従ってひたすら計算します。入試問題としてはややきつめの計算量です。

(面積 $S$ を求める)
対称性より第一象限の面積を計算して $4$ 倍すればよい。
$S=4\int_0^{a}ydx\\
=4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}a\sin^3\theta\dfrac{dx}{d\theta}d\theta\\
=4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}a\sin^3\theta\cdot (-3a\sin\theta\cos^2\theta)d\theta\\
=12a^2(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^4\theta d\theta-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^6\theta d\theta)$
この積分計算は部分積分と漸化式を用いて頑張る。(→sinのn乗,cosのn乗の積分公式
$S=12a^2(1-\dfrac{5}{6})\dfrac{3}{4}\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3}{8}\pi a^2$

アステロイド曲線の長さ

媒介変数表示された曲線の長さの公式を用いて計算します。(今は学習指導要領の範囲外なのでほとんどの大学の入試では出題されない)
面積より計算量は少ないです。

(曲線の長さ $l$ を求める)
対称性より第一象限の長さを計算して $4$ 倍すればよい。
$l=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(\dfrac{dx}{d\theta})^2+(\dfrac{dy}{d\theta})^2}d\theta\\
=4a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9\cos^2\theta\sin^2 \theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}d\theta\\
=6a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2\theta d\theta\\
=6a$

名前もグラフの概形もかっこいいので好きな曲線ランキングがあったらNo1でしょう
分野: いろんな関数  レベル: 最難関大学