2014/08/05

数学オリンピック対策問題(不等式)

分野: 不等式  レベル: 数学オリンピック

問題

非負実数 $a,b,c$ に対して
$\sqrt[3]{(\dfrac{a+b}{2})(\dfrac{b+c}{2})(\dfrac{c+a}{2})}\geq\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}$
を証明せよ。

良質な練習問題です,数オリ対策にどうぞ。

不等式証明の方針

「相加平均たちの相乗平均と相乗平均たちの相加平均」を比較した美しい不等式です。

三変数対称斉次式なので様々な方法が考えられますが,以下では,

方針1:気合いでルートを外してMuirheadとSchurの不等式を用いる方法
方針2:仲介役を挟む方法

をそれぞれ解説します。
方針1は数学オリンピック界隈では「bunching」と呼ばれる有名な手法です。是非マスターしておきましょう。
※表記簡略化のためにbunching特有の記号を用いるのでMuirheadの不等式を知らない方はMuirheadの不等式と具体例を参照してください。
(シグマの下に $sym$ とかついてて見た目はゴツイですが内容は難しくありません!)

方針2は普通は思いつかないような方法なので観賞用にどうぞ。

方針1:bunchingによる証明

証明:
$a=A^2, b=B^2, c=C^2$ とおいて両辺三乗すると根号が外れる:
$27(A^2+B^2)(B^2+C^2)(C^2+A^2)\geq 8(AB+BC+CA)^3$

示すべき不等式を気合いで展開する:
$27\displaystyle\sum_{sym}A^4B^2+6A^2B^2C^2\\
\geq\displaystyle 4\sum_{sym}A^3B^3+24\sum_{sym}A^3B^2C$

ここまでは機械的な計算。基本はMuirheadの不等式「偏っている方が大きい」で評価したいが,偏っていない $6A^2B^2C^2$ が大きい側にいて厄介なのでSchurの不等式を用いて救出する:
$A^3+B^3+C^3+3ABC\geq \displaystyle\sum_{sym}A^2B$
の両辺を $2ABC$ 倍すると,
$\displaystyle\sum_{sym}A^4BC+6A^2B^2C^2\geq \sum_{sym}2A^3B^2C$

よって,示すべき不等式と比較して,残った部分:
$27\displaystyle\sum_{sym}A^4B^2\geq 4\sum_{sym}A^3B^3+22\sum_{sym}A^3B^2C+\sum_{sym}A^4BC$
を示せば良い。

これは $[4,2,0]$ が最も偏っているのでMuirheadの不等式からただちに成立する。
($[4,2,0]\succeq [3,3,0],[3,2,1],[4,1,1]$ という3つの不等式を足し合わせる)

気合いで展開する部分については対称式を素早く正確に展開する3つのコツもどうぞ。

方針2:仲介役を挟むエレガントな証明

左辺と右辺の間に仲介役 $\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$ をはさみます。
すると,以下のように3つの不等式が成立して万事がうまくいきます。

左側:$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}\geq\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$

右側1:$a+b+c\geq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
右側2:$3(ab+bc+ca)\geq (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2$

「左側」の証明:
両辺 $72$ 倍して展開して整理すると,
$\displaystyle\sum_{sym}a^2b\geq 6abc$ となり,
$[2,1,0]$ と $[1,1,1]$ のMuirheadの不等式です。

「右側1」の証明
有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caそのものです。

「右側2」の証明
$ab=A^2, bc=B^2, ca=C^2$ とおくと,
$3(A^2+B^2+C^2)\geq (A+B+C)^2$ を示せば良いが,
これは展開して整理すると,$A^2+B^2+C^2\geq AB+BC+CA$
と同値なので成立。

右側の2つの不等式をかけわせて両辺 $27$ で割ることによって
$\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}\geq (\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3})^3$
が分かり,左側と合わせて題意の不等式を得ます。

他にもよい証明方法があればご一報ください!
分野: 不等式  レベル: 数学オリンピック