大学入試で頻出の関数 $y=x\log x$ について，重要事項を整理しました。
xlogxの極限
$\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x=0$
$0\times -\infty$ の不定形です。僕は「対数関数よりも多項式のほうが影響力が強い」と覚えています。この公式の二通りの証明を解説します。
証明1
$x=\dfrac{1}{y}$ とおくと，
$\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x\\
=\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\dfrac{1}{y}\log \dfrac{1}{y}\\
=\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\dfrac{-\log y}{y}=0$
ただし，最後に「対数関数より多項式のほうが早く発散する」ことを用いました。→指数関数の極限と爆発性
ロピタルの定理を認めればこんな証明も。
証明2
$\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x\\
=\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\log x}{\frac{1}{x}}\\
=\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\\
=\displaystyle\lim_{x\to +0}(-x)\\
=0$
xlogxの微分
$(x\log x)’=\log x+1$
覚える必要はありません。積の微分公式を使うだけです。
証明
$(x\log x)’=x\cdot\dfrac{1}{x}+1\cdot \log x=1+\log x$
y=xlogxのグラフ
$y=x\log x$ のグラフの概形は覚えておきましょう。
（グラフの書き方）
$f(x)=x\log x$ の微分は $1+\log x$ なので，
$0 < x < \dfrac{1}{e}$ で減少，$\dfrac{1}{e} < x$ で増加。
これと $\displaystyle\lim_{x\to +0}f(x)=0$，$f(\dfrac{1}{e})=-\dfrac{1}{e}$ に注意するとグラフは図のようになる。
xlogxの不定積分
$\displaystyle\int x\log xdx=\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C$
覚える必要はありません。部分積分を使うだけです。
（導出）
$\displaystyle\int x\log xdx=\dfrac{x^2}{2}\log x-\int \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}dx\\
=\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C$