重み付き相加相乗平均の不等式の意味とその証明

まず，重みの各成分が有理数である場合を考える。$w_i$ たちの分母の最小公倍数を $d$ とする。重みを $d$ 倍して各成分を整数にしたもの $(dw_1, dw_2,\cdots, dw_n)$ を考える。各 $a_i$ を $dw_i$ 個用いて相加相乗平均の不等式を適用することで証明される。

相加平均： $\dfrac{dw_1a_1+dw_2a_2+\cdots+dw_na_n}{dw_1+dw_2+\cdots+dw_n}=\displaystyle\sum_{i=1}^nw_ia_i$

相乗平均： $\sqrt[d]{a_1^{dw_1}a_2^{dw_2}\cdots a_n^{dw_n}}=\displaystyle\prod_{i=1}^na_i^{w_i}$

いずれかの $i$ で $a_i=0$ のときは自明なので $a_i>0$ の場合を考える。

$f(x)=-\log x$ とおくと，$f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{x^2}>0$ より，$f(x)$ は凸関数。

よって，イェンゼンの不等式より，

$$\begin{aligned} &-w_1\log a_1-w_2\log a_2 -\cdots -w_n\log a_n\\ &\geq -\log (w_1a_1+w_2a_2+\cdots+w_na_n) \end{aligned}$$

これを整理して対数の中身を比べると重み付き相加相乗平均の不等式となる。