sin15°、cos15°、tan15°【覚えておくと便利な三角比】

$$\begin{aligned} &\sin 15^{\circ}\\ &= \sin (45^{\circ} - 30^{\circ})\\ &= \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}\\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\\ &= \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

半角の公式より $$\cos 30^{\circ} = 1 - 2 \sin^2 15^{\circ}$$ である。$\cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より $$\begin{aligned} \sin 15^{\circ} &= \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}}\\ &= \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\\ &= \dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}\\ &= \dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\\ &= \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$ となる。

なお，下から2つめの等式は 二重根号の外し方・外せないものの判定 を参照のこと。

下図のような直角三角形を考える。

$\angle \mathrm{DCA} = 15^{\circ}$ となるように $\mathrm{AB}$ 上に $\mathrm{D}$ を取る。（下図参照）

$\angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{DCA} = 15^{\circ}$ より $\mathrm{AD} = \mathrm{CD}$ である。

また，この時 $\triangle \mathrm{BCD}$ は $30^{\circ} , 60^{\circ} , 90^{\circ}$ の三角形であるため，$\mathrm{BD} = \sqrt{3}$，$\mathrm{AD} = \mathrm{CD} = 2$ である。

以上より $$\begin{aligned} \mathrm{AC} &= \sqrt{\mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2}\\ &= \sqrt{(2+\sqrt{3})^2 + 1^2}\\ &= \sqrt{8+4\sqrt{3}}\\ &= \sqrt{6} + \sqrt{2} \end{aligned}$$ と計算されるため $$\sin 15^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$ となる。