テトリスのブロックの種類を数える問題

テトリスのブロックの種類を列挙してみます！数え上げのよい練習問題。

問題

ただし，回転で重なるものは同じものとみなします（折り返しで重なるだけでは同じとはみなさない）。

4ブロックの場合は比較的簡単（1973年の一橋の入試問題！）ですが，5ブロックの場合は数オリの予選の前半とかで出そうなレベルです。

テトリミノ（テトロミノ）は全部で7種類

もれなく重複なく数えるために，最大直線の長さで場合分けして列挙していきます。

・最大直線の長さ4（1タイプ，1種類）
I字型（棒のやつ）しかない。

・最大直線の長さ3（2タイプ，3種類）
残り1つをどうくっつけるかで3種類。

・最大直線の長さ2（2タイプ，3種類）
長さ3の直線ができないように残り2個をくっつける方法を調べると3種類。

テトリミノは全部で7種類でした！

注：適当に列挙してたまたま7種類当たるのではダメダメです。このタイプの問題では全部調べてこれ以外ない！と言い切れるようになりましょう。

ペントミノは全部で18種類

いよいよ5ブロックの場合です！考え方はテトリミノの場合とほぼ同じですが，最大直線の長さが3のときが厄介なので後回しにします。

・最大直線の長さ5（1タイプ，1種類）
I字型（棒のやつ）しかない。

・最大直線の長さ4（2タイプ，4種類）
残り1つをどうくっつけるかで4種類。

・最大直線の長さ2（1タイプ，1種類）
長さ3以上の直線を作らないようにつなげるのは1種類しかない。

ここから最大直線の長さが3のやつを列挙します。長さ3の棒を基準にして残り二つをどうつけるか数えます。全部で8タイプ12種類もあります！

・ $A$ の部分を使うやつ
2種類。

・ $B$ の部分を使うやつ
1種類。

・ $C$ の部分を使うやつ
1種類。

・ $A,B,C$ どれも使わないやつ
残り二つが両方とも上側にくるのが3種類，上と下に1つずつくっつくのが5種類。

ペントミノは全部で18種類でした！

数え上げに関する教訓

・一気に全部数えようとしてキツイ場合は，何かの特徴（上の例では最大直線の長さ）で場合分けして数えていくともれにくい。

・特徴で場合分けしてもなお種類がたくさんあるグループ（上の例ではペントミノ，長さ3の場合）については，さらに別の特徴に注目して場合分けするともれにくい。