定数分離の考え方と例題３問

まずは，例題を通じて定数分離とは何か説明します。

別解（定数分離を用いない方法）：二次方程式の解は解の公式より $x=1\pm\sqrt{1+a}$ よって，求める条件は $1+a > 0$ かつ $1-\sqrt{1+a} \geq -1$

これを解くと $-1 <a\leq 3$

例題をふまえ、定数分離の考え方を整理します。

文字定数 $a$ を含む $x$ についての方程式 $f(x,a)=0$ を考えます。$a$ の値によって方程式の解は変化します。

このとき，方程式を $g(x)=a$ （右辺は $a$ でなくても $2a,e^a$ など $a$ の簡単な関数ならよい）という式に変形できれば $y=g(x)$ のグラフと $y=a$ のグラフの交点を見ることで解の様子が分かります。

このように「定数分離」することで見通しが良くなることがあります。

一般に三次方程式を解くのは非常に大変（→カルダノの公式と例題【三次方程式の解の公式】）なので例題1の別解のような方法は通用しません。定数分離の威力が発揮されています。

定数分離の考え方が使えるのは方程式だけではありません。

別解（逆数を取ると計算がやや楽になる）：

$x=0$ をもとの不等式に代入すると $a\geq 0$ が必要であることが分かる。

$x > 0$ での条件は(*)の逆数を取ると

$\dfrac{1}{a}\leq x^2+\dfrac{1}{x}$

この右辺について相加相乗平均の不等式より，$x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$

であり，実際 $x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ で等号成立。

つまり，求める条件は $a\geq 0$ かつ $\dfrac{1}{a}\leq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$ となり上記の解答と同じ答えを得る。

注：途中で相加相乗平均の不等式の応用〜関数の最小値を求める〜に載っている考え方を使っています。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT79では，このような問題で計算ミスを減らすためのコツも紹介しています。