対称式の基本定理の証明

• 対称式とは，変数を入れかえても形が変わらない多項式のことです。
• 基本対称式 $e_d$ とは「全ての変数から $d$ 個選んでかけ合わせたものを足しあわせたもの」です。基本対称式は対称式です。→三次，四次，ｎ次方程式の解と係数の関係とその証明

二変数の場合：

$x,y$ についての基本対称式は $e_1=x+y$ ，$e_2=xy$ です。対称式の基本定理によると，「 $x,y$ についての対称式はどんなものでも，必ず $e_1$ と $e_2$ の多項式として表せる」ことが分かります。

例えば，

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=e_1^2-2e_2$

という感じです。 →2変数の対称式と基本対称式の4つの性質

三変数の場合：

$x,y,z$ についての対称式は $e_1=x+y+z$ ，$e_2=xy+yz+zx$ ，$e_3=xyz$ の多項式として表せます。

高校数学では三変数の場合まで覚えておけば十分でしょう。

対称式の基本定理の証明の準備です。二つの単項式について以下のような強さの関係（辞書式順序）を考えます。

• $x_1$ の次数が大きい方が強い
• $x_1$ の次数が同じなら $x_2$ の次数が大きい方が強い
• それも同じなら $x_3$ の次数が大きい方が強い
• 以下同様

例えば $x_1^3x_2^2x_3$ の方が $x_1^3x_2^2x_4$ よりも強いです。

$n$ 変数の対称式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ が基本対称式 $e_1=x_1+x_2+\cdots +x_n,$

$\cdots,e_n=x_1x_2\cdots x_n$ で表せることを証明します。

注：例えば $3x^5y^3z^3w^2$ を作り出すためには，

$3e_4^2e_3e_1^2\\ =3(xyzw)^2(xyz+xyw+xzw+yzw)(x+y+z+w)^2$

とすればOKです。

注２：「基本対称式で表せる」ことの証明ができてしまえば「その表し方が一通りである」ことの証明も同様にできます。具体的には， $f(x_1,\cdots,x_n)$ の中で一番強い項を $Ax_1^{c_1}x_2^{c_2}\cdots x_n^{c_n}$ とすると，$f(x)$ を基本対称式の多項式で表すためには $Ae_n^{c_n}e_{n-1}^{c_{n-1}-c_n}\cdots e_1^{c_1-c_2}$ を使う必要があることを証明します。