x^3/e^x-1の定積分

高校数学の知識だけでも雰囲気は理解できると思います。

補足１

$f_k(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^kx^3e^{-nx}dx$

とおくと，$\displaystyle\lim_{k\to\infty}f_k(x)$ は $x\geq 0$ で

$f(x)=\dfrac{x^3}{e^x-1}$

（ただし $f(0)=0$ ）に一様収束することが分かるので，極限と積分の順番が交換できます：

$\displaystyle\int_0^{\infty}f(x)dx=\lim_{k\to\infty}\displaystyle\int_0^{\infty}f_k(x)dx$

補足２

$s > 1$ に対して $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}$ のことをゼータ関数と言い，$\zeta(s)$ と書きます。 →ゼータ関数の定義と基本的な話

$\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}$ は有名です。→バーゼル問題の初等的な証明

また，$\zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{90}$ であることが知られています。

一般化

上記の方法を一般化すると，

$\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^m}{e^x-1}dx=m!\left(\dfrac{1}{1^{m+1}}+\dfrac{1}{2^{m+1}}+\cdots \right)$

となることが分かります[2]。

右辺を $\Gamma$ 関数と $\zeta$ 関数を用いて書くと，

$\Gamma(m+1)\zeta(m+1)$ となります。

参考文献

[1]Stefan–Boltzmann law

[2]Riemann Zeta Function