平方根の長さを作図する２通りの方法

更新 2021/03/07

任意の正の有理数 $q$ に対して，長さ $1$ の線分が与えられれば長さ $\sqrt{q}$ の線分を定規とコンパスで作図できる。

長さ $\sqrt{q}$ の線分を作図できるということは，面積 $q$ の正方形を作図できるということでもあります！

三平方の定理を繰り返し用いる方法

まずは $q$ が正の整数である場合に使える方法です。長さ $1$ の線分 $AB$ が与えられたときに長さ $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\cdots$ の線分を順番に作図していきます。

作図方法

平方根の作図

まず， $B$ を通り $AB$ と垂直で長さが $1$ の線分 $AB_{2}$ を作図する。

すると，三平方の定理により $AB_{2}=\sqrt{2}$ である。

次に， $B_2$ を通り $AB_2$ と垂直で長さが $1$ の線分 $B_2B_3$ を作図する。

三平方の定理より $AB_{3}=\sqrt{3}$ である。

以下同様に $\sqrt{4},\sqrt{5},\cdots$ の長さの線分を作図することができる。

この方法は順番に作図していくので，数字が大きくなると大変です。実際に $\sqrt{10}$ を作図することさえだいぶめんどうです。

有名な構図を用いる方法

次は長さ
111
 の線分と長さ
rrr
 の線分が与えられたときに長さ
r\sqrt{r}r​
 の線分を作図する有名な方法です。
rrr
 は有理数でなくても構いません。
作図方法
まず
AB=1,BC=rAB=1,BC=rAB=1,BC=r
 となるように直線上に三点
A,B,CA,B,CA,B,C
 をこの順番で並べる。
次に
ACACAC
 を直径とする円
Γ\GammaΓ
 を書く。
BBB
 を通り
ACACAC
 と垂直な直線と
Γ\GammaΓ
 の交点の一つを
DDD
 とする。このとき
BD=rBD=\sqrt{r}BD=r​
 である！（→補足）
補足：円の中心を
OOO
 とすると，OD=1+r2OD=\dfrac{1+r}{2}OD=21+r​
，OB=∣1−r∣2OB=\dfrac{|1-r|}{2}OB=2∣1−r∣​
 である。三角形
OBDOBDOBD
 に三平方の定理を用いると，
BD2=(1+r)2−(1−r)24=rBD^2=\dfrac{(1+r)^2-(1-r)^2}{4}=rBD2=4(1+r)2−(1−r)2​=r
 が分かる。
追記：
BD2=rBD^2=rBD2=r
 の証明は方べきの定理を使えば一瞬です（読者の方に教えていただきました）。
相加相乗平均の不等式の証明にも使われる有名な構図です。

冒頭の主張の説明

以下の二点により冒頭の主張が証明されます：

任意の有理数 $q=\dfrac{n}{m}$ に対して，長さ $1$ の線分が与えられたときに長さ $q$ の線分は作図できる（ $m$ 等分の作図と $n$ 倍の作図は簡単にできることから分かる）
長さ $1$ の線分と長さ $r$ の線分が与えられたときに長さ $\sqrt{r}$ の線分は作図できる（説明済）

作図は数学Aで習います。平方根の作図も教科書範囲内です。

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この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！