スネルの法則（屈折の法則）をフェルマーの原理を用いて証明

$a,\:b,\:c > 0$ を定数として，$A(0,0),\:B(a,b),\:C(x,c)$ とおく。$x$ を $0$ から $a$ の間で動かしたときに最短時間となるようなものを求める。

$AC$ 間の移動にかかる時間は，$\tfrac{1}{v_1}\sqrt{x^2+c^2}$ ，

$CB$ 間の移動にかかる時間は，$\tfrac{1}{v_2}\sqrt{(x-a)^2+(c-b)^2}$

これらの和を $T(x)$ とおく。 $T(x)$ が最小となる $x$ を求めるために微分する：

$$\dfrac{dT(x)}{dx}=\dfrac{x}{v_1\sqrt{x^2+c^2}}+\dfrac{x-a}{v_2\sqrt{(x-a)^2+(c-b)^2}} \quad \cdots (\ast)$$

頑張ってもう一度微分すると $$\dfrac{d^2T(x)}{dx^2}=\dfrac{c^2}{v_1(x^2+c^2)^{\frac{3}{2}}}+\dfrac{(c-b)^2}{v_2\{(x-a)^2+(c-b)^2\}^{\frac{3}{2}}} > 0$$

よって，$\dfrac{dT(x)}{dx}$ は区間内で単調増加。また，$x=0$ で $\dfrac{dT(x)}{dx} < 0$ かつ $x=a$ で $\dfrac{dT(x)}{dx} > 0$ である。以上より $\dfrac{dT(x)}{dx}=0$ は区間内でただ一つの解 $x_0$ を持つ。

また，$x=x_0$ で $T(x)$ は最小となる。よって実現される経路では $C$ の座標は $(x_0,c)$ である。

$x=x_0$ では $\dfrac{dT(x)}{dx}=0$ を満たすので，$( \ast )$ より

$$\dfrac{x_0}{v_1\sqrt{x_0^2+c^2}}+\dfrac{x_0-a}{v_2\sqrt{(x_0-a)^2+(c-b)^2}}=0$$

これを変形すると（注），

$$\dfrac{\sin \theta_1}{\sin\theta_2}=\dfrac{v_1}{v_2}$$

となる。