sinとcosのn階微分とマクローリン展開

マクローリン展開するために，高階導関数を求めます。三角関数の $n$ 階微分を求める問題は高校数学の基本的な問題です。

三角関数を微分すると位相が90度進むことに注意すると場合分けなしで書けます！

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT85では，$n$ 次導関数の計算においてミスを減らすためのポイントも解説しています。

ここから教科書範囲外です。マクローリン展開（$x=0$ でのテイラー展開）は $x=0$ での $n$ 階導関数の値をもとに以下のように計算できます（→マクローリン展開）：

$f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots$

さきほどの結果により $f(x)=\sin x$ の $x=0$ での導関数の値は（$f(0)$ からスタートして）$0,1,0,-1,0,1,0,-1,\cdots$ と繰り返していくので，

$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$

となります。

$\sin x$ は原点付近では $x-\dfrac{x^3}{6}$ に近いと覚えておきましょう。

$f(x)=\cos x$ についても同様です。$x=0$ での導関数の値は（$f(0)$ からスタートして）$1,0,-1,0,1,0,-1,0,\cdots$ と繰り返していくので，

$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$

となります。

$\cos x$ は原点付近では $1-\dfrac{x^2}{2}$ に近いと覚えておきましょう。

なお，$\sin$ と $\cos$ におけるマクローリン展開の正当性（任意の実数 $x$ に対して右辺の級数が収束して左辺と一致すること）は以下のように確認できます。

• $n$ 階微分の絶対値が $1$ 以下である。つまり，任意の正整数 $n$ と実数 $x$ に対して $|f^{(n)}(x)|\leq 1$
• よって，テイラーの定理における剰余項 $\to 0$ になる。

剰余項については，テイラーの定理の例と証明を参照ください。