三角関数の３通りの定義とメリットデメリット

更新 2021/03/07

三角関数 $\sin, \cos$ はいろいろな分野に現れるとても重要な関数です。この記事では，三角関数の定義を3通り説明します。

直角三角形による定義

まずは，1つめの定義です。直角三角形の辺の長さを使って三角関数（三角比）を定義します。
三角関数の定義1
0<θ<90∘0 <\theta < 90^{\circ}0<θ<90∘ を満たす θ\thetaθ に対して
∠A=θ,∠B=90∘\angle A=\theta, \angle B=90^{\circ}∠A=θ,∠B=90∘
 となる直角三角形を描き，
sin⁡θ=BCAC, cos⁡θ=ABAC,tan⁡θ=BCAB\sin\theta=\dfrac{BC}{AC},\:\cos\theta=\dfrac{AB}{AC},\\\tan\theta=\dfrac{BC}{AB}sinθ=ACBC​,cosθ=ACAB​,tanθ=ABBC​
と定義する。
メリット
理解しやすい，「図形の計算を簡単にしたい」というモチベーションが分かりやすい。
正弦定理や余弦定理，面積公式などの有用な定理を理解するだけならこの定義で十分。
デメリット
0<θ<90∘0 <\theta < 90^{\circ}0<θ<90∘ でしか定義できない（少し頑張っても 180∘180^{\circ}180∘ まで）。

単位円による定義

次は，単位円による三角関数の定義です。これは確実に覚えておきましょう。
三角関数の定義2
任意の実数 θ\thetaθ に対して
xxx
 軸の正の部分を原点中心に反時計回りに
θ\thetaθ
 だけ回転させた半直線と単位円の交点の座標を
(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)(cosθ,sinθ)
 と定義する。
また（cos⁡θ≠0\cos\theta\neq 0cosθ=0
 のもとで），tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ​
 と定義する。
0<θ<90∘0 <\theta <90^{\circ}0<θ<90∘
 の範囲では，さきほどの直角三角形による定義と一致します。
メリット
任意の実数で三角関数が定義されたおかげで，図形問題以外にも使える道具となった。
例えば，一見三角関数と関係ないような無限級数の値を求めるのに使える。ウォリスの公式とその2通りの証明
その他にも，フーリエ解析（信号処理論），特殊関数論など様々な分野で活躍できる。
デメリット
（多くの初学者にとって）直角三角形による定義より分かりにくい。
フーリエ解析などは高校で習わないので，定義の必要性を実感するのには時間がかかる。

マクローリン展開による定義

次は，マクローリン展開（テイラー展開）による定義です。三角関数は実数だけでなく，複素数に対しても定義できます。
三角関数の定義3
任意の複素数 zzz に対して
sin⁡z=∑k=0∞(−1)kz2k+1(2k+1)!=z−z36+⋯\sin z={\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}(-1)^k\dfrac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}=z-\dfrac{z^3}{6}+\cdotssinz=k=0∑∞​(−1)k(2k+1)!z2k+1​=z−6z3​+⋯
cos⁡z=∑k=0∞(−1)kz2k(2k)!=1−z22+⋯\cos z={\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}(-1)^k\dfrac{z^{2k}}{(2k)!}=1-\dfrac{z^2}{2}+\cdotscosz=k=0∑∞​(−1)k(2k)!z2k​=1−2z2​+⋯
実数の範囲では単位円による定義と一致します。
メリット
複素数でも定義されるのでスッキリして美しい。
「角度」という概念を介さずに三角関数が定義できる。
デメリット
高校生にとってはとても難しい，必要ない。
というわけで定義2まではきちんと覚えておきましょう！
1999年東大入試で三角関数の定義が出題されています。
Tag:東大入試数学の良問と背景知識まとめ
Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧
三角関数は図形問題にはもちろんのこといろいろな分野に登場する重要な関数です。以下，三角関数の定義を3通り解説しますが2つめまでは理解して自分でも説明できるようになっておきましょう。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！