線分の長さにまつわる頻出の形

更新 2021/08/17

図形問題における頻出の構図を2つ紹介します。いずれも線分の長さを最小化する問題です。

そのまま出題されることもありますし，証明問題の途中で現れる場合もあります。

頻出の形1：線分の積の最小化

2007年日本数学オリンピック予選の第3問です。

問題

平面上に長さ $7$ の線分 $AB$ があり，点 $P$ と直線 $AB$ の距離は $3$ である。 $AP\times BP$ のとりうる最小の値を求めよ。

解答

三角形 $APB$ の面積 $S$ を二通りで表す：

$\dfrac{1}{2}PA\times PB\times \sin\angle APB=\dfrac{7}{2}\cdot 3$

よって， $PA\times PB$ が最小となるのは $\sin\angle APB$ が最大となるとき。

本問では $\angle APB$ が直角になるような点 $P$ を取ることができる（ $AB$ の中点を通り半径 $\dfrac{7}{2}$ の円を考えればよい）。

よって，求める最小値は $21$

この問題は簡単に一般化できます。2通りの場合があることが確認できます。

線分の積の最小化

線分 $AB$ の長さを $a$ ， $AB$ と $P$ の距離を $h$ とおくと， $PA\times PB$ が最小となるのは以下の場合です：

$a\geq 2h$ のとき，上記と同様に $\angle APB$ が直角となる場合
$a <2h$ のとき， $PA=PB$ となる場合
（ $a <2h$ のとき， $\angle APB$ が最大になるのが $PA=PB$ の場合であることは簡単に証明できます）

問題

三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ 上の点 $P$ から他の2辺に下ろした垂線の足を $D, E$ とおく。点 $P$ が $BC$ 上を動くと線分 $DE$ の長さが最小となるのはどのような場合か？

解答

線分の最小化

直角が2つあるので， $A, D, P, E$ は同一円周上にある。そしてその円の直径は $AP$ である。

よって，正弦定理により $\dfrac{DE}{\sin A}=AP$

$DE$ が最小となるのは $AP$ が最小となるとき，つまり $AP$ と $BC$ が垂直な場合。

議論はシンプルですが，とても美しい結果です。

より複雑な図形を扱っている場合でも，直角2つ発見したらすぐに円を思い浮かべましょう！

ちなみに，線分の和を最小化する問題については，三角形のフェルマー点の3通りの証明も参照してください。

私は2つ目の構図がかなり好きです。議論はとても短いのに結果が非自明だからです。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！