正規分布の標準化の意味と証明

$\mu=1$，$\sigma^2=9$ であり，正規分布の標準化をすると，$\dfrac{X-1}{3}$ が標準正規分布に従う。

また，$4\leq X\leq 10\iff 1\leq \dfrac{X-1}{3}\leq 3$

なので，求める確率は $P(1\leq \dfrac{X-1}{3}\leq 3)$

これは標準正規分布表を使うと，$0.157$ くらいであることがわかる。

• $E\left[\dfrac{X-\mu}{\sigma}\right]\\ =\dfrac{1}{\sigma}(E[X]-E[\mu])\\ =\dfrac{1}{\sigma}(\mu-\mu)\\ =0$

• $V\left[\dfrac{X-\mu}{\sigma}\right]\\ =\dfrac{1}{\sigma^2}(V[X]-V[\mu])\\ =\dfrac{1}{\sigma^2}(\sigma^2-0)\\ =1$

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ のとき，確率密度関数は

$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left\{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$

目標は，$Y=aX+b$ の従う確率密度関数 $g(y)$ を求めること。

そこで，$y=ax+b$ と変数変換すると，$g(y)=f(x)\dfrac{dx}{dy}$ なので

$g(y)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[-\dfrac{((\frac{y-b}{a})-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\cdot\dfrac{1}{a}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}a\sigma}\exp \left[-\dfrac{((y-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}\right]$

これは平均 $a\mu+b$，分散 $a^2\sigma^2$ の正規分布の確率密度関数である。

$X$ の特性関数は，

$\phi_X(t)=\exp\left[i\mu t-\dfrac{\sigma^2t^2}{2}\right]$

よって，$aX+b$ の特性関数は，

$\phi_{aX+b}(t)=E[e^{itaX}e^{itb}]\\ =e^{itb}E[e^{itaX}]\\ =e^{itb}\phi_X(ta)\\ =\exp\left[itb+i\mu ta -\dfrac{\sigma^2t^2a^2}{2}\right]$

これは，平均 $a\mu+b$，分散 $a^2\sigma^2$ の正規分布の特性関数である。