角の二等分線に関する重要な３つの公式

直線 $AB$ と「$C$ を通り $AD$ と平行な直線」との交点を $E$ とおく。

同位角，錯角より，

$\angle AEC=\angle BAD\\=\angle CAD=\angle ACE$

よって，$AE=AC$

また，3つの角がそれぞれ等しいので三角形 $BAD$ と三角形 $BEC$ は相似であり，

$BA:AC=BA:AE=BD:DC$

つまり $a:b=d:e$

三角形 $ABC$ の面積は $\dfrac{1}{2}ab\sin A$

また，三角形 $ABD$ と三角形 $ACD$ の面積の和は，

$\dfrac{1}{2}af\sin\dfrac{A}{2}+\dfrac{1}{2}bf\sin\dfrac{A}{2}$

両者が等しいことと $\sin A=2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}$ より，

$2ab\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}=(a+b)f\sin\dfrac{A}{2}$

つまり，

$(a+b)f=2ab\cos\dfrac{A}{2}$

公式2と三角形 $ABD$ についての余弦定理より，

$(a+b)f=2ab\times\dfrac{a^2+f^2-d^2}{2af}$

これを $f$ について解く：

$f^2=ab-\dfrac{bd^2}{a}=ab-de$

ただし，最後の変形は公式 $1$ による。

三角形 $ABC$ の外接円と $AD$ の交点を $E$ とおく。

円周角の定理より白丸○の角度が等しいので $ABD$ と $AEC$ は相似。

よって，$a:AE=f:b$

$ab=f\times AE\\ =f\times (f+DE)\\ =f^2+f\times DE\\ =f^2+de$

ただし，最後の等号は方べきの定理を使った。

スチュワートの定理から分かる。→スチュワートの定理の証明とその仲間

内角の場合と同じく，直線 $AB$ と「$C$ を通り $AD$ と平行な直線」の交点を $E$ とすると，相似な三角形ができる。

3つの三角形の面積について，

$|ABD|-|ACD|=|ABC|$

が成立するので

$\dfrac{1}{2}af\sin\dfrac{A}{2}-\dfrac{1}{2}bf\sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{1}{2}ab\sin A$

となることからわかる。