二項係数の和，二乗和，三乗和

証明

二項定理より
$2^n=(1+1)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k1^k1^{n-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k$
$0=(-1+1)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k(-1)^k1^{n-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k{}_n\mathrm{C}_k$

証明1

図のような格子状の道において，$(0,0)$ から$(n,n)$ までの最短経路の数を2通りの方法で数える。

• $n$ 個の「右」と $n$ 個の「上」を並べる場合の数に等しいので，${}_{2n}\mathrm{C}_n$ 通り。
• 途中で$(0,n),(1,n-1),\cdots, (n,0)$ を必ず1つだけ通る。そして，$(k,n-k)$ を通る最短経路の数は，$({}_n\mathrm{C}_k)^2$ である。（$(k,n-k)$ まで行く方法が${}_n\mathrm{C}_k$ 通り，そこから$(n,n)$ まで行く方法も${}_n\mathrm{C}_k$ 通り）

よって，目標の式は示された。

証明2

ヴァンデルモンドの畳み込みで証明した式：
$\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_p\mathrm{C}_k{}_q\mathrm{C}_{n-k}={}_{p+q}\mathrm{C}_n$
において，$p=n,q=n$ とすると，
$\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k{}_n\mathrm{C}_{n-k}={}_{2n}\mathrm{C}_n$
を得る。これと${}_n\mathrm{C}_{n-k}={}_n\mathrm{C}_k$ より目標の式を得る。