斜めの楕円の方程式（特に45度回転）

原点を中心とする一般の楕円は「いつもの楕円」 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ を適切に回転させることで得られる。

「いつもの楕円」を $\theta$ 回転させたものが $(X,Y)$ を通るとすると，

$$\dfrac{(X\cos\theta+Y\sin\theta)^2}{a^2}+\dfrac{(-X\sin\theta+Y\cos\theta)^2}{b^2}=1$$

となる。（計算過程は後述）

これは，整理すると $Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$ という方程式になる。$A > 0$ などは簡単に確認できる。

$(x,y)$ を複素数平面上の点 $z = x+yi$ だとみなす。

このとき，$z$ に $\cos \theta + i \sin \theta$ を掛けた点が $(x,y)$ を $\theta$ 回転させた点となる。

逆に $\theta$ 回転させた点を $(X,Y)$ とすると， $$x + yi = (X+ Yi)(\cos \theta - i \sin \theta)$$ となる。計算すると $$\begin{aligned} x + yi &= (X + Yi)(\cos \theta - i\sin \theta)\\ &= X \cos \theta - i X \sin \theta + i Y \cos \theta + Y \sin \theta \\ &= (X \cos \theta + Y \sin \theta) + i (-X\sin \theta + Y \cos \theta) \end{aligned}$$ となるため， $x = X \cos \theta + Y \sin \theta$，$y = -X\sin \theta + Y \cos \theta$ となる。

$(x,y)$ を $\theta$ 回転させた点を $(X,Y)$ とおく。

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} X \cos \theta + Y \sin \theta\\ -X\sin \theta + Y \cos \theta \end{pmatrix} \end{aligned}$$

よって，$x = X \cos \theta + Y \sin \theta$，$y = -X\sin \theta + Y \cos \theta$ となる。

$P=\begin{pmatrix} A&B\\B&C\end{pmatrix}$ と定義すると，$Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$ という方程式は，$(x\:\:\:y)\:P\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=1$ と書ける（二次形式の行列表現）。

ここで，条件より $P$ は正定値行列なので，ある直交行列（回転行列）$U$ を用いて $UPU^{\top}=\begin{pmatrix}\lambda_1& 0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$ ($\lambda_1 > 0,\lambda_2 > 0$)と対角化できる。

これを用いると，上記の方程式は，

$(x\:\:\:y)\:U^{\top}\begin{pmatrix}\lambda_1& 0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}U\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=1$ となる。

これは，$U$ による回転で $\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2=1$ に移ることを表している。つまり，いつもの楕円を原点中心に回転させたものである。

いつもの楕円を $45^{\circ}$ 回転させたもの $\iff$ $y=x$ に関して折り返しても図形は変わらない

に注意する。

• $A=C$ のとき，$x$ と $y$ に関して対称な式となり，$y=x$ に関して折り返しても図形は変わらない。
• $Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$ は $\left( \pm\dfrac{1}{\sqrt{A}} , 0 \right) ,\left( 0 , \pm\dfrac{1}{\sqrt{C}} \right)$ を通るので，$y=x$ に関して折り返しても図形が変わらないとき，$A=C$ が必要である。