内接円の半径と三角形の面積

実は，三角形 $ABC$ は直角三角形である。実際，$3^2+4^2=5^2$ であり，三平方の定理の逆から直角三角形であることが分かる。

したがって，面積は

$$3\times 4\times\dfrac{1}{2}=6$$

よって，内接円の半径を $r$ とすると，公式より

$$6=\dfrac{r}{2} (3+4+5)$$

よって，$r=1$

今度は直角三角形でないので，ヘロンの公式を用いて三角形の面積 $S$ を求める。 $$\dfrac{5+6+7}{2}=9$$ であり，

$$S=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6}$$

内接円の半径を求める公式より，$6\sqrt{6}=\dfrac{r}{2}(5+6+7)$

よって $r=\dfrac{2\cdot 6\sqrt{6}}{18}=\dfrac{2}{3}\sqrt{6}$

内接円の中心を $I$ とおくと，

$$S=|ABI|+|BCI|+|CAI|$$

ここで，$|ABI|=\dfrac{cr}{2}$，$|BCI|=\dfrac{ar}{2}$，$|CAI|=\dfrac{br}{2}$ より，$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$

• ヘロンの公式より，$S^2=\dfrac{1}{16}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

• 図において $r=x\tan\dfrac{A}{2}$
  ここで $(c-x)+(b-x)=a$
  より $x=\dfrac{-a+b+c}{2}$ であり，
  $$\begin{aligned} \tan^2\dfrac{A}{2}&=\dfrac{1-\cos A}{1+\cos A}\\ &=\dfrac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc+b^2+c^2-a^2}\\ &=\dfrac{a^2-(b-c)^2}{(b+c)^2-a^2}\\ &=\dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{(a+b+c)(-a+b+c)} \end{aligned}$$

以上より

$$\begin{aligned} r^2&=\dfrac{(-a+b+c)^2}{4}\dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{(a+b+c)(-a+b+c)}\\ &=\dfrac{1}{4}\dfrac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c} \end{aligned}$$

二つの式から $S^2=\dfrac{r^2}{4}(a+b+c)^2$ となり，公式は証明された。

図のように記号を定める。$P,Q,R$ は接点。

$\angle C$ が直角であることなどから，$IPCQ$ は1辺の長さが $r$ の正方形になる。1辺の長さは内接円の半径 $r$ である。

さらに，同じ点から引いた2本の接線の長さは等しいので

$$\begin{aligned} 5&=AB\\ &=AR+RB\\ &=AQ+PB\\ &=(3-r)+(4-r)\\ &=7-2r \end{aligned}$$

よって，$2r=2$，$r=1$