最終更新:2018/11/02

内接円の半径と三角形の面積

分野: 平面図形  レベル: 基本公式

内接円とは,三角形の3つの辺全てに接する円のこと。内接円の半径は,
$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$
という公式を使って計算することができる。

三角形の内接円について詳しく解説します。前半では,内接円の半径の計算公式の意味を解説し,後半では公式を2通りの方法で証明します。

内接円とは

三角形が与えられたときに,3つの辺全てに接する円のことを内接円と言います。また,内接円の中心を内心と言います。

この記事では,以下のような「内接円の半径を求める問題」について詳しく解説します。

例題1

三辺の長さが $3,4,5$ である三角形 $ABC$ の内接円の半径を求めよ。

内接円の半径を計算する公式

内接円の半径 $r$ を計算する問題では,
$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$
という公式を使います。

ただし,$a,b,c$ は三角形の三辺の長さで,$S$ は面積です。
先程の例題1を解いてみましょう。

例題1の解答

実は,三角形 $ABC$ は直角三角形である。実際,$3^2+4^2=5^2$ であり,三平方の定理の逆から直角三角形であることが分かる。
したがって,面積は
$3\times 4\times\dfrac{1}{2}=6$
よって,内接円の半径を $r$ とすると,公式より
$6=\dfrac{r}{2}(3+4+5)$
よって, $r=1$

このように,三角形の三辺の長さと面積が分かれば内接円の半径も分かると言えます。

一般の三角形の内接円の半径

例題1は直角三角形でしたが,直角三角形でない場合も内接円の半径を計算する場合には,同じ公式
$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$
を使います。

例題2

三辺の長さが $5,6,7$ である三角形の内接円の半径を求めよ。

例題2の解答

今度は直角三角形でないので,ヘロンの公式を用いて三角形の面積 $S$ を求める。 $\dfrac{5+6+7}{2}=9$ であり,
$S=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6}$
内接円の半径を求める公式より,$6\sqrt{6}=\dfrac{r}{2}(5+6+7)$
よって $r=\dfrac{2\cdot 6\sqrt{6}}{18}=\dfrac{2}{3}\sqrt{6}$

公式の証明1

内接円の半径を計算する公式
$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$
を2通りの方法で証明します。まずは,多くの参考書に載っている有名な証明方法です。

三角形 $ABI$ の面積を $|ABI|$ などと書きます。

内接円の半径1

証明

内接円の中心を $I$ とおくと,
$S=|ABI|+|BCI|+|CAI|$

ここで,$|ABI|=\dfrac{cr}{2}$,$|BCI|=\dfrac{ar}{2}$,$|CAI|=\dfrac{br}{2}$ より,$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$

三角形を,内心を使って3つに分けて,それぞれの面積を計算するというテクニックです。非常に重要なテクニックなので,覚えることをおすすめします。

公式の証明2

内接円の半径の公式を証明する方法は他にもあります。証明1に比べて計算も大変で筋が悪いですが,全てを $a,b,c$ で表すという方針でも証明できます。

証明

・ヘロンの公式より,$S^2=\dfrac{1}{16}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

内接円の半径2

・図において $r=x\tan\dfrac{A}{2}$
$(c-x)+(b-x)=a$ より $x=\dfrac{-a+b+c}{2}$
$\tan^2\dfrac{A}{2}=\dfrac{1-\cos A}{1+\cos A}\\
=\dfrac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc+b^2+c^2-a^2}\\
=\dfrac{a^2-(b-c)^2}{(b+c)^2-a^2}\\
=\dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{(a+b+c)(-a+b+c)}$

以上より
$r^2=\dfrac{(-a+b+c)^2}{4}\dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{(a+b+c)(-a+b+c)}\\
=\dfrac{1}{4}\dfrac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}$

二つの式から $S^2=\dfrac{r^2}{4}(a+b+c)^2$ となり,公式は証明された。

なお,傍心に関しても似たような公式が成立します。→内心と傍心の性質の比較

記事のボリュームが足りなかったので強引な証明2をやってみました。

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