無理関数とそのグラフの書き方

根号を含む関数を無理関数と言います。例えば $y=\sqrt{x}$，$y=\sqrt{-3x+1}+2$，$y=\sqrt[3]{\dfrac{2x}{x^2+1}}$ は全て無理関数です。

数3の教科書では無理関数の中でも $y=\pm\sqrt{ax+b}$ という基本的なものが登場します。この記事では $y=\pm\sqrt{ax+b}+c\:(a\neq 0)$ のグラフをすばやく描く方法を解説します。

まずは $y=\pm\sqrt{ax+b}$ の定義域と値域の確認です。グラフを描くときに使います。

〜定義域〜

根号の中身が非負，つまり $ax+b\geq 0$ が定義域。よって，

• $a$ が正のとき定義域は $x\geq -\dfrac{b}{a}$
• $a$ が負のとき定義域は $x\leq -\dfrac{b}{a}$

〜値域〜

$\sqrt{ax+b}$ は非負の実数全体を動くので，

• $y=\sqrt{ax+b}$ の値域は $y\geq 0$
• $y=-\sqrt{ax+b}$ の値域は $y\leq 0$

つまり，先頭にマイナスがあるかどうか，および $a$ の符号によって四通りの場合が生じます。

定義域と値域をふまえた上で，$y=\pm\sqrt{ax}$ のグラフを考えてみます（$b=0$ の場合です）。

1. $y=\sqrt{ax}$ のグラフ（$a > 0$）
2. $y=\sqrt{ax}$ のグラフ（$a < 0$）
3. $y=-\sqrt{ax}$ のグラフ（$a > 0$）
4. $y=-\sqrt{ax}$ のグラフ（$a < 0$）

• いずれも原点から出発して，最初は鉛直方向に進みます（微分係数が無限大）。そして徐々に変化がなだらかになっていきます。
• 四つの向きのうちどの向きに行けばよいかは定義域，値域を見るだけで分かります。
• $y=\sqrt{ax}\iff y^2=ax$ かつ $y\geq 0$ なので，グラフは放物線の一部になります（よく見る $y=x^2$ という放物線を $90^{\circ}$ 回転させたものの半分）。
• $b\neq 0$ の場合は平行移動すればよいだけです。 $\sqrt{ax+b}=\sqrt{a(x+\frac{b}{a})}$ なので，$y=\sqrt{ax}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\dfrac{b}{a}$ 平行移動させればOKです。 →グラフの平行移動（具体例と公式の証明）

以上をふまえて例題です。実際の書き方（思考過程）を説明します。

次の例題2で見るように，$y$ 軸方向の平行移動があっても同じです。

本記事の結論です。

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