最終更新:2018/06/23

行列の無限等比級数

分野: 線形代数  レベル: 大学数学

対角化可能な正方行列 $A$ について,全ての固有値が $-1$ より大きく $1$ より小さいとき,
$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}A^k=I+A+A^2+\cdots$
は $(I-A)^{-1}$ に収束する。

行列の無限等比級数について考えます。記事の後半では,より一般的な主張を述べます。

部分和

無限級数について考える前に,まずは項の数が有限の場合について考えてみます。

$1+x+x^2+\dots +x^{n-1}=\dfrac{1-x^{n}}{1-x}$
という等比数列の和の公式の行列版として($I-A$ に逆行列が存在するという条件のもとで),
$I+A+A^2+\dots +A^{n-1}=(I-A^n)(I-A)^{-1}$
という等式が成立します。

証明

$(I+A+\cdots +A^{n-1})(I-A)=I-A^n$
という式が成立することは,左辺を展開することで簡単に証明できる。

よって,$(I-A)$ に逆行列が存在する場合は,両辺に $(I-A)^{-1}$ を右からかけて,
$I+A+A^2+\dots +A^{n-1}=(I-A^n)(I-A)^{-1}$
を得る。

無限和

$A$ が対角化可能であるという条件に注意して,冒頭の定理を証明してみましょう。

証明

まず,$(I-A)$ が逆行列を持つことを確認する。
$A$ の固有値が $-1$ より大きく $1$ より小さいので $I-A$ の固有値は $0$ より大きく $2$ より小さい。よって,$I-A$ は正則行列である(行列が正則であることの同値な条件と証明の5)。

次に,$D=P^{-1}AP$ のように対角化できるとすると,先程の部分和の式より
$I+A+A^2+\dots +A^{n-1}\\
=(I-A^n)(I-A)^{-1}\\
=P(I-D^n)P^{-1}(I-A)^{-1}$
となる。

ここで,$A$ の固有値が $-1$ より大きく $1$ より小さいので $D^n$ は $n$ を大きくしていくと限りなく零行列 $O$ に近づく。よって,
$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}A^k=P(I-O)P^{-1}(I-A)^{-1}\\
=(I-A)^{-1}$
となる(※)。

※「高校数学ではイプシロンデルタを使わずに,限りなく近づく,という言葉でごまかした」と同じごまかしをしています。
→イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法
本当に厳密にやるには「行列が行列に限りなく近づくとはどういうことか」を考える必要があります。

より一般的な定理

任意の正方行列 $A$ について,以下の2つは同値。
1. $\rho(A)<1$
2. $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}A^k=I+A+A^2+\cdots$ は $(I-A)^{-1}$ に収束

  • $\rho(A)$ は $A$ の絶対値最大固有値の絶対値です。$A$ のスペクトル半径と呼ばれることもあります。「全ての固有値が $-1$ より大きく $1$ より小さい」を言い換えただけです。
  • $A$ が対角化不可能な場合にも,冒頭の主張は成り立ちます。証明にはジョルダン標準形を使います。
  • 冒頭の主張の逆も成立します。

詳細は参考文献:The Geometric Series of a Matrixをどうぞ。

「行列の等式だけど,$1\times 1$ 行列の場合は普通の見慣れた公式になる」というタイプの式,好きです。
分野: 線形代数  レベル: 大学数学