行列の指数関数とその性質

$A^k=\begin{pmatrix}3^k&0\\0&4^k\end{pmatrix}$ であることが帰納法よりわかる。

よって，

$$\begin{aligned} e^A &= I+A+\dfrac{A^2}{2!}+\cdots\\ &= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&0\\0&4\end{pmatrix}+\dfrac{1}{2!}\begin{pmatrix}3^2&0\\0&4^2\end{pmatrix}+\cdots\\ &= \begin{pmatrix}e^3&0\\0&e^4\end{pmatrix} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} e^A &= e^{PBP^{-1}}\\ &= I+(PBP^{-1})+\dfrac{(PBP^{-1})^2}{2!}+\dfrac{(PBP^{-1})^3}{3!} + \cdots \end{aligned}$$

ここで，$(PBP^{-1})^k=PB^{k}P^{-1}$ なので上式は， $$P\left(I+B+\dfrac{B^2}{2!}+\dfrac{B^3}{3!}+\cdots\right)P^{-1}=Pe^{B}P^{-1}$$ となる。

固有値・固有ベクトルを求めて対角化する。固有方程式は $\lambda^2-6\lambda+5=0$ より $\lambda=1,5$ で $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix}$

それぞれ固有ベクトルを求めて並べると，$P = \begin{pmatrix} 3&1 \\ -1&1 \end{pmatrix}$ となるので， $$\begin{aligned} P^{-1} A P &= \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 1&-1\\1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&3\\1&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&1 \\ -1&1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ のように対角化できる。以上より $$\begin{aligned} e^A &= P e^{D} P^{-1}\\ &= P \begin{pmatrix} e&0\\0&e^5 \end{pmatrix} P^{-1}\\ &=\dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 3&1 \\ -1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e&0\\0&e^5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-1\\1&3 \end{pmatrix}\\ &= \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 3e+e^5&-3e+3e^5\\-e+e^5&e+3e^5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

さきほどの相似変換に関する性質を使う。 $A=PJP^{-1}$ （$J$ は $A$ のジョルダン標準形）とすると，

$e^{A}=Pe^{J}P^{-1}$

である。両辺の行列式を考えると，$\det (e^A)=\det (Pe^{J}P^{-1})$

となる。積の行列式は行列式の積なので上式の右辺は $\det (e^J)$ と等しい。

ここで，$J$ は上三角行列であり対角成分は $A$ の固有値 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ である。よって，$e^J$ も上三角行列で対角成分は $e^{\lambda_1},\cdots,e^{\lambda_n}$ である。

よって，$\det (e^J)=e^{\lambda_1+\cdots +\lambda_n}=e^{\mathrm{tr}\:A}$

（ただし，最後に「固有値の和＝トレース」という性質を用いた→行列のトレースの性質とその証明）