マルバツゲームは引き分けになる

二人で行うゲームです。3×3のマス目に，先攻は○，後攻は×を交互に書き込んでいき，先に縦or横or斜めに3つ揃えたら勝ち（ビンゴを作ったら勝ち）というシンプルなゲームです。

$\begin{array}{c|c|c}&&\:\:\:\\\hline &○&\\\hline &&\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}×&&\:\:\\\hline &○&\\\hline &&\end{array}\to\cdots$

やってみれば分かりますが，多くの場合引き分けになります（どっちもビンゴを作ることができずに終わる）。ときどき先攻が勝つこともありますが，後攻が勝つことはまずありません。

実は，先攻も後攻も頑張れば必ず引き分けになることが知られています。どちらにも必勝法はありません。

• 先攻が負けないことは簡単に確認できます（最初に真ん中に打てば後攻がビンゴを作るのは絶望的ですね）。

• 後攻も頑張れば引き分けに持ち込めます（後述）。

後攻が負けない戦略を詳しく見ていきます。 「基本的な考え方」は相手のビンゴを防ぎつつ，真ん中→角→辺の順に優先して置いていきます。ただし，例外が1つだけあります。

先攻を○，後攻を×で表します。

先攻が真ん中に打ってきた場合

$\begin{array}{c|c|c}×&&\\\hline &○&\\\hline &&\:\:\end{array}$

後攻は角に打ちます。次の先攻の手としては以下の4パターンありますが，それぞれ「基本的な考え方」に従えば引き分けに持ち込めます（証明略）。

$\begin{array}{c|c|c}×&○&\:\:\:\\\hline &○&\\\hline &&\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}×&○&\:\:\\\hline &○&\\\hline &×&\end{array}$

$\begin{array}{c|c|c}×&&○\\\hline &○&\\\hline &&\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}×&&○\\\hline &○&\\\hline ×&&\end{array}$

$\begin{array}{c|c|c}×&&\\\hline　&○&○\\\hline &&\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}×&&\\\hline ×&○&○\\\hline &&\end{array}$

$\begin{array}{c|c|c}×&&\\\hline &○&\\\hline &&○\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}×&&×\\\hline &○&\\\hline &&○\end{array}$

注：最終手まで厳密に確認しようとすると膨大なスペースが必要になるので4手目までしか書いていません。5手目以降も気になる方はぜひ自力で確認してみてください。

先攻が角に打ってきた場合

$\begin{array}{c|c|c}○&&\\\hline &×&\\\hline &&\:\:\end{array}$

後攻は真ん中に打ちます。次の先攻の手として4パターンあります。そのうち3パターンは上記と同様に「基本的な考え方」に従って打てば引き分けに持ち込めます。先攻が右下に打ってきた場合だけ注意が必要です。

$\begin{array}{c|c|c}○&&\\\hline &×&\\\hline &&○\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}○&&\\\hline &×&\\\hline &×&○\end{array}$

この場合，後攻は 角よりも辺を優先して打つ必要があります。（角に打つと次の手で先攻にダブルリーチができてしまいます）

先攻が辺に打ってきた場合

$\begin{array}{c|c|c}&&\\\hline ○&×&\\\hline &&\:\:\end{array}$

後攻は真ん中に打ちます。先攻は次にどこに打ってもビンゴを作るのは厳しそうですね（同様に確認できます）。

Tag:難しめの数学雑学・ネタまとめ