シュタイナーの内接楕円，Mardenの定理，Gauss--Lucasの定理

各辺の中点を $L,M,N$ とする。

頑張って計算することにより，

1. $\angle FLB=\angle F'LC$

2. $FL+F'L=FM+F'M=FN+F'N$

が分かる（→補足）。

1より，$F,F'$ を焦点とし $L$ を通る楕円 $\Gamma$ は，$BC$ と $L$ で接する。さらに，2より，$\Gamma$ は $M$ と $N$ を通る。

さらに対称性と1より，$FMA=F'MC$ ，$\angle FNA=F'NB$ も成立するので，$\Gamma$ は $M$ と $N$ で $CA,AB$ と接することが分かる。

$f(z)=C(z-a_1)(z-a_2)\cdots (z-a_n)$

とする。複素数 $a_i$ に対応する点が $A_i$ である。

$f'(b)=0$ のとき，$b$ に対応する点が $A_i$ の凸包に含まれることを示す。

もし，$f(b)=0$ のときは $b$ は $a_i$ のいずれかと一致するので定理は成立。よって，以下 $f(b)\neq 0$ とする。

積の微分公式（→ライプニッツの公式の証明と二項定理）を用いて $f'(z)$ を微分すると，

$$f'(z)=\dfrac{f(z)}{z-a_1}+\dfrac{f(z)}{z-a_2}+\cdots +\dfrac{f(z)}{z-a_n}$$

よって，$f'(b)=0$ なので，

$$\dfrac{1}{b-a_1}+\dfrac{1}{b-a_2}+\cdots +\dfrac{1}{b-a_n}=0$$

分母を実数化して両辺の共役複素数を取ることにより，

$$\dfrac{b-a_1}{|b-a_1|^2}+\dfrac{b-a_2}{|b-a_2|^2}+\cdots +\dfrac{b-a_n}{|b-a_n|^2}=0$$

よって，$w_i=\dfrac{1}{|b-a_i|^2}$ とおくと，

$$b=\dfrac{a_1w_1+a_2w_2+\cdots +a_nw_n}{w_1+w_2+\cdots +w_n}$$

と凸結合の形で書けるので定理は成立。