球の慣性モーメントの2通りの求め方

球の中心が原点，回転軸を $z$ 軸とする座標で考えると，慣性モーメントの定義より

$I=\displaystyle\int_{x^2+y^2+z^2\leq R^2} \rho(x^2+y^2)dxdydz$

積分の対称性より，

$I=\displaystyle\int_{x^2+y^2+z^2\leq R^2} \rho(y^2+z^2)dxdydz$

$I=\displaystyle\int_{x^2+y^2+z^2\leq R^2} \rho(z^2+x^2)dxdydz$

も成立する。これらを加えると，

$3I=\displaystyle\int_{x^2+y^2+z^2\leq R^2} 2\rho(x^2+y^2+z^2)dxdydz$

ここで，直交座標から極座標へ変数変換すると，ヤコビアンは $r^2\sin\theta$ なので

$3I=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_0^{\pi}\sin\theta d\theta\int_0^{R}2\rho r^2\cdot r^2 dr\\ =2\pi\cdot 2\cdot \dfrac{2R^5\rho}{5}$

よって，$I=\dfrac{8\pi}{15}\rho R^5$

ここで，$\rho=\dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ より，

$I=\dfrac{2}{5}MR^2$

球の中心が原点，回転軸を $z$ 軸とする座標で考える。 $z$ 座標が $z$ から $z+dz$ の間にある部分は薄い円板とみなせる。

その半径は，$a=\sqrt{R^2-z^2}$，質量は $M=\rho Sdz=\rho \pi (R^2-z^2)dz$

（$S$ は円板の底面積，$dz$ は厚み）

よって，この薄い円板部分による慣性モーメントへの寄与は

$\dfrac{1}{2}Ma^2=\dfrac{1}{2}\rho\pi (R^2-z^2)(\sqrt{R^2-z^2})^2dz$

したがって，

$I=\displaystyle\int_{-R}^{R}\dfrac{1}{2}\rho\pi (R^2-z^2)^2dz\\ =\rho\pi \displaystyle\int_0^{R}(R^4-2R^2z^2+z^4)dz\\ =\rho\pi \left(R^5-\dfrac{2R^5}{3}+\dfrac{R^5}{5}\right)\\ =\dfrac{8\pi}{15}\rho R^5$

これと，$\rho=\dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ より，

$I=\dfrac{2}{5}MR^2$