直交座標と極座標（２次元）の変換とメリットの比較

平面上の点の位置は，二つの数字を使うことで表現できます。例えば， 直交座標（$xy$ 直交座標，デカルト座標）では $(x,y)$ で点の位置を表します。

一方， 極座標では $(r,\theta)$ で点の位置を表します。ただし

• $r$ は原点からの距離を表し，動径と呼ばれます。

• $\theta$ は始線（原点を通る基準の半直線，$x$ 軸の正の向きと一致させるのが慣例）から反時計周りに測った角度を表し，偏角と呼ばれます。

同じ点 $A$ が直交座標で $(x,y)$ ，極座標で $(r,\theta)$ と表されているとき，

$x=r\cos\theta,\:y=r\sin\theta$ が成立します。これにより，極座標，直交座標のいずれかが分かればもう一方もすぐに分かります。

・極座標→直交座標

$x=r\cos\theta,\:y=r\sin\theta$ を計算するのみです。

・直交座標→極座標

$x=r\cos\theta,\:y=r\sin\theta$ という2つの式を変形すると，$r^2=x^2+y^2,\cos\theta=\dfrac{x}{r},\sin\theta=\dfrac{y}{r}$ となります。この1つめの式から $r$ が計算でき，2つめと3つめの式から $\theta$ が計算できます。

ただし，上の3式を満たす $(r,\theta)$ は無数にあるので，$r\geq 0,\:0\leq \theta <2\pi$ と制限することが多いです。

直交座標のメリット

• どの座標軸も対等であり，多くの場合微分や積分の計算が楽。
• 一つの点と二つの実数の組 $(x,y)$ の間に1対1対応がある。

注：極座標では一つの点を表す $(r,\theta)$ が無数にあります。原点の扱いも不便です。

極座標のメリット

• 「距離」と「角度」という物理的な量を用いて表現するので，イメージしやすい。物理現象の記述に便利なことが多い（例えばクーロン力や重力の記述など）。
• 極座標で表す方が簡潔な図形の方程式もけっこうある。

例えば，円の方程式は $x^2+y^2=A^2$ よりも $r=A$ の方が簡潔。他にもカージオイドやレムニスケートなど。→媒介変数表示された有名な曲線7つ

Tag:数学Cの教科書に載っている公式の解説一覧