行列のカーネル（核）の性質と求め方

更新 2021/03/07

カーネル（核）の定義

行列 $A$ に対して， $Ax=\overrightarrow{0}$ を満たすベクトル $x$ の集合を $A$ のカーネル（または核）と言い， $\mathrm{Ker}\:A$ と書くことが多い。

線形代数における重要な概念「カーネル」について解説します。

カーネルとは

この記事では，AAA
 は
m×nm\times nm×n
 行列，xxx
 は
nnn
 次元の縦ベクトルとします。また，0undefined\overrightarrow{0}0
 は全ての要素が
000
 である
mmm
 次元縦ベクトルです。
線形代数におけるカーネルとは，AAA
 をかけると
0undefined\overrightarrow{0}0
 になるベクトルの集合です。図のように理解すると，確かに「核」っぽいです。

カーネルの性質

カーネルは線形空間をなすつまり，x1,x2∈Ker Ax_1,x_2\in \mathrm{Ker}\:Ax1​,x2​∈KerA
 なら，その線形結合
c1x1+c2x2c_1x_1+c_2x_2c1​x1​+c2​x2​
 もカーネルの要素であるというわけです。これは，Ax1=0,Ax2=0Ax_1=0,Ax_2=0Ax1​=0,Ax2​=0
 なら
A(c1x1+c2x2)=0A(c_1x_1+c_2x_2)=0A(c1​x1​+c2​x2​)=0
 であることから分かります。
rank A+dim⁡(Ker A)=n\mathrm{rank}\:A+\dim (\mathrm{Ker}\:A)=nrankA+dim(KerA)=n（次元定理）次元定理の意味，具体例，証明で詳しく解説しています。カーネルの大きさとイメージの大きさ（rank\mathrm{rank}rank）の間に成り立つ関係です。
（AAA が正方行列のとき）AAA が正則   ⟺  \iff⟺ Ker A\mathrm{Ker}\:AKerA の要素は 0undefined\overrightarrow{0}0 のみ⟹\Longrightarrow⟹
 は簡単です。
AAA
 が正則なら逆行列
A−1A^{-1}A−1
 が存在するので，Ax=0undefinedAx=\overrightarrow{0}Ax=0
 なら（両辺に左から
A−1A^{-1}A−1
 をかけて）x=0undefinedx=\overrightarrow{0}x=0
 となります。
⟸\Longleftarrow⟸
 は次元定理を認めればすぐです。カーネルの次元が
000
 のとき，rank A=n\mathrm{rank}\:A=nrankA=n
 であり，AAA
 が正則であることが分かります。
さらに詳しく→行列が正則であることの意味と5つの条件

カーネルの求め方

具体例で説明します。カーネルを求めるには，連立方程式 $Ax=\overrightarrow{0}$ を解けばよいです。これは頑張れば高校生にもできますが，ここでは行列の基本変形を用いて説明します。（前提知識：行列の基本変形の意味と応用（rank・行列式の計算））

例題

$A=\begin{pmatrix}1&1&1&2\\1&-1&-1&1\\1&3&3&3\\3&1&1&5\end{pmatrix}$ のカーネルを計算せよ。また，基底を一組求めよ。

解答

$A$ を行基本変形していくと，

$A\to\begin{pmatrix}1&1&1&2\\0&-2&-2&-1\\0&2&2&1\\0&-2&-2&-1\end{pmatrix}$

$\to\begin{pmatrix}1&1&1&2\\0&-2&-2&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$

となる。つまり， $x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$ が $A$ のカーネルの要素となる必要十分条件は， $x_1+x_2+x_3+2x_4=0$ かつ $-2x_2-2x_3-x_4=0$

ここで， $x_3$ と $x_4$ を一つ決めればこの条件を満たす $x$ がただ一つ決まる。つまり，カーネルの要素は

$x=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}t\\-s-\frac{t}{2}\\s\\t\end{pmatrix}$

（ただし $s,t$ は任意の実数）とかける。さらに $s$ と $t$ の部分を分けると，

$x=s\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}$

となる。つまり， $A$ のカーネルの次元は $2$ であり，基底（の一例）は

$\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\0\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}$

ちなみに WolframlAlpha でカーネルの計算もできます（今回の例だと ker{{1,1,1,2},{1,-1,-1,1},{1,3,3,3},{3,1,1,5}}と入力）。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！

行列のカーネル（核）の性質と求め方

カーネルとは

カーネルの性質

カーネルは線形空間をなす

$\mathrm{rank}\:A+\dim (\mathrm{Ker}\:A)=n$ （次元定理）

（ $A$ が正方行列のとき） $A$ が正則 $\iff$ $\mathrm{Ker}\:A$ の要素は $\overrightarrow{0}$ のみ

カーネルの求め方