重積分の計算方法と例題3問

$r^4\sin\theta$ という関数を $\{(r,\theta)\mid 0\leq r\leq R,0\leq \theta\leq \pi\}$ という領域で積分せよという問題。 $r$ の積分と $\theta$ の積分に分解できる：

$$\begin{aligned} I &= \int_0^{\pi}\sin\theta d\theta\int_0^{R}r^4dr\\ &= (-\cos \pi+\cos 0)\cdot\dfrac{R^5}{5}\\ &= \dfrac{2}{5}R^5 \end{aligned}$$

（$x$ で積分してから $y$ で積分する）

積分範囲は $1-y\leq x\leq 1$ ，$0\leq y\leq 1$ と書けるので，

$$\begin{aligned} I &= \int_{0}^1 \left( \int_{1-y}^1x y^2 dx \right) dy\\ &= \int_0^1 \left[ \dfrac{x^2y^2}{2} \right]_{1-y}^1 dy\\ &= \int_0^1 \left( y^3-\dfrac{y^4}{2} \right)dy\\ &= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{10}\\ &= \dfrac{3}{20} \end{aligned}$$

（$y$ で積分してから $x$ で積分する）

積分範囲は $1-x\leq y\leq 1$，$0\leq x\leq 1$ と書けるので，

$$\begin{aligned} I &= \int_{0}^1 \left( \int_{1-x}^1x y^2 dy \right) dx\\ &= \int_0^1 \left[ \dfrac{xy^3}{3} \right]_{1-x}^1 dx\\ &= \int_0^1 \left( x^2 - x^3 + \dfrac{x^4}{3} \right) dx\\ &= \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{15}\\ &= \dfrac{3}{20} \end{aligned}$$

（$y$で積分してから$x$で積分する）

積分範囲は $x^2\leq y\leq x$ ，$0\leq x\leq 1$ と書けるので，

$$\begin{aligned} I &= \int_{0}^1 \left( \int_{x^2}^x -\dfrac{1}{(2x+y+1)^2} dy \right) dx\\ &= \int_0^1 \left[ \dfrac{1}{2x+y+1} \right]_{x^2}^x dx\\ &= \int_0^1 \left( \dfrac{1}{3x+1} - \dfrac{1}{(x+1)^2} \right) dx\\ &= \left[ \dfrac{1}{3} \log (3x+1) + \dfrac{1}{x+1} \right]_0^1\\ &= \dfrac{1}{3} \log 4 - \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

$x$ を固定して考えると $$\dfrac{x^b - x^a}{\log x} = \int_a^b x^y dy$$ である。よって $$\int_0^1 \dfrac{x^b - x^a}{\log x} dx = \int_0^1 \int_a^b x^y dy dx$$ である。

積分の順序を入れ替えて $$\begin{aligned} I &= \int_a^b \int_0^1 x^y dx dy\\ &= \int_a^b \Big[ \dfrac{1}{1+y} x^{y+1} \Big]_0^1 dy\\ &= \int_a^b \dfrac{dy}{1+y}\\ &= \Big[ \log (1+y) \Big]_a^b\\ &= \log \dfrac{1+b}{1+a} \end{aligned}$$