最終更新:2018/11/04

循環小数の意味と分数で表す方法など

分野: 式の計算  レベル: 基本公式

循環小数とは,
$0.22222\dots$ や $1.2789789789\dots$
のように「途中からひたすら同じ列を繰り返す」ような小数のことです。

この記事では,循環小数について詳しく解説します。

循環小数とは

循環小数とは,ある桁から同じ数字の列がひたすら繰り返されるような小数のことです。

循環小数の例としては,$0.22222\dots$ や $1.2789789789\dots$ などが挙げられます。

途中から同じ1つの数字を繰り返す場合,その数字の上に点をつけて表現します。

$0.22222\dots$ は $2$ の上に点をつけて $0.\dot{2}$ のように書くことがあります。

一方,複数の数字を繰り返す場合,繰り返す最初と最後の桁の上に点をつけて表現します。

$1.2789789789\dots$ は $789$ を繰り返すので $7$ と $9$ の上に点をつけて $1.2\dot{7}8\dot{9}$ のように書くことがあります。

循環節とは

循環の1周期を循環節と言います。例えば $1.2\dot{7}8\dot{9}$ の循環節は $789$ です。

循環小数を分数で表す方法

循環小数は分数で表すことができます。具体的には以下の2つの手順によって,循環小数を分数で表します。

  • $10^{k}$ 倍する(ただし $k$ は循環節の桁数)
  • 差をつくる

例題

$0.\dot{2}$ という循環小数を分数で表わせ。

解答

$r=0.222222\cdots$ の循環節は $2$(1桁)なので $10$ 倍すると,
$10r=2.222222\cdots$
となります。この2つの式について辺々差を取ると,
$9r=2$
よって,$r=\dfrac{2}{9}$

例題2

$5.\dot{2}14\dot{3}$ という循環小数を分数で表わせ。

解答

$r=5.214321432143\cdots$ の循環節は $2143$(4桁)なので $10000$ 倍すると,
$10000r=52143.214321432143\cdots$
この2つの式について辺々差を取ると,
$9999r=52138$
よって,$r=\dfrac{52138}{9999}$

循環小数と分数

上記の2つの手順によって,循環小数を分数で表すことができました。つまり,循環小数で表現できる数は有理数であることが分かります。実は,以下の定理が成立します。

任意の実数 $r$ について,
$r$ が循環小数で表せる $\iff$ $r$ は有理数(分数で表せる)

次は,上記の定理の左向き,つまり「有理数は循環小数で表せる」について確認してみましょう。

有理数を循環小数で表す方法

任意の有理数は割り算を実行することで,循環小数の形で表現できます。割り算の筆算を考えてみると,計算が有限回で終わるか,同じ操作を途中から繰り返すことになるからです。

例題

$\dfrac{2}{9}$,$\dfrac{8}{5}$ をそれぞれ循環小数で表わせ。

解答

$2\div 9$ を実際に筆算で計算すると,$0.222222\cdots$ となることが分かる。

$8\div 5$ を実際に筆算で計算すると $1.6$ となることが分かる。これは有限小数だが,$1.6\dot{0}$ とみなすこともできるし,$1.5\dot{9}$ とみなすこともできる。

おまけ:循環小数を分数で表す方法2

循環小数を分数で表す方法として,無限等比級数の公式を使う方法があります。
→無限等比級数の収束,発散の条件と証明など

※数3の内容ですし,無限等比級数の公式の証明でどちみち同じ計算をするので,本質的に別の方法という訳ではありませんが。

先ほどの例題の別解

$r=0.222\cdots=0.2+0.02+0.002+\cdots$
は初項 $0.2$,公比 $0.1$ の無限等比級数なので,
$r=\dfrac{0.2}{1-0.1}=\dfrac{2}{9}$

$r=5.214321432143\\
=5+(0.2143+0.00002143+0.000000002143+\cdots)$
のカッコの中身は初項 $0.2143$,公比 $0.0001$ の無限等比級数なので,
$r=5+\dfrac{0.2143}{1-0.0001}=5+\dfrac{2143}{9999}=\dfrac{52138}{9999}$

小学生のころ $1=0.999999\cdots$ という式を見て全然納得できなかった思い出があります。
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