循環小数の意味と分数で表す方法など

$r=0.222222\cdots$ の循環節は $2$ （1桁）なので $10$ 倍すると，

$10r=2.222222\cdots$

となります。この2つの式について辺々差を取ると，

$9r=2$

よって，$r=\dfrac{2}{9}$

$r=5.214321432143\cdots$ の循環節は $2143$ （4桁）なので $10000$ 倍すると，

$10000r=52143.214321432143\cdots$

この2つの式について辺々差を取ると，

$9999r=52138$

よって，$r=\dfrac{52138}{9999}$

$2\div 9$ を実際に筆算で計算すると，$0.222222\cdots$ となることが分かる。

$8\div 5$ を実際に筆算で計算すると $1.6$ となることが分かる。これは有限小数だが，$1.6\dot{0}$ とみなすこともできるし，$1.5\dot{9}$ とみなすこともできる。

$r=0.222\cdots=0.2+0.02+0.002+\cdots$
は初項 $0.2$，公比 $0.1$ の無限等比級数なので，
$r=\dfrac{0.2}{1-0.1}=\dfrac{2}{9}$

$r=5.214321432143\\ =5+(0.2143+0.00002143+0.000000002143+\cdots)$
のカッコの中身は初項 $0.2143$，公比 $0.0001$ の無限等比級数なので，
$r=5+\dfrac{0.2143}{1-0.0001}=5+\dfrac{2143}{9999}=\dfrac{52138}{9999}$