ジョルダン標準形の意味と求め方

ジョルダンブロック（ジョルダン細胞）とは，対角成分に同じ値 $\lambda$ を並べ，一つ上の部分には $1$ を並べた行列のことです。対角成分 $\lambda$ と行列のサイズ $k$ を用いて $J(\lambda,k)$ と書くことにします。

例えば，$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\3&0&-3\\-4&3&6\end{pmatrix}$ について，$P=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&-1\\1&0&1\end{pmatrix}$

とすると $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$ となり，$J(2,2)$ と $J(3,1)$ を対角ブロックに並べた行列なので，これがジョルダン標準形です。

任意の行列 $A$ に対してジョルダン標準形は（ブロックの順番の任意性を除いて）一意に決まります。

行列の対角化の意味と具体的な計算方法でも述べたとおり，$P^{-1}AP$ という形の行列は $A$ とある意味で仲間（相似）です。その仲間の中で最もシンプルな行列を求めたいというモチベーションがあります。

固有値が全て異なる場合は対角化すればOK（対角化で得られる行列＝ジョルダン標準形）ですが，そうでない場合は対角化できるとは限りません。そこでジョルダン標準形が登場します。対角行列とまではいかなくても対角行列に近い行列にまでは持っていけるというわけです。

まず，3次以下の行列に対して必ず成功する方法を紹介します（4次以上でも多くの場合成功します）。

以下の2つの性質からジョルダン標準形の候補がある程度絞れます。

4次以上の場合，固有値とジョルダンブロックの個数が決まっても $J$ が一意に定まらない場合があります。

そのような部分については，以下の性質3（または性質3から導ける性質3’）を用いてジョルダンブロック $J(\lambda,k)$ の個数を直接求めます。

ちなみに，性質3で $k=1$ とすると性質2になります。