sinhx, coshx, tanhxの逆関数

更新 2021/03/07

逆双曲線関数

$y=\sinh x$ の逆関数は， $y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$

$y=\cosh x\:(x\geq 0)$ の逆関数は， $y=\log(x+\sqrt{x^2-1})$ $(1\leq x)$

$y=\tanh x$ の逆関数は， $y=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}$ $(-1< x<1)$

双曲線関数

sinh⁡x\sinh xsinhx
 とは
ex−e−x2\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}2ex−e−x​
 のことです。
cosh⁡x\cosh xcoshx
 とは
ex+e−x2\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}2ex+e−x​
 のことです。
tanh⁡x\tanh xtanhx
 とは
ex−e−xex+e−x\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}ex+e−xex−e−x​
 のことです。
これらは，双曲線関数と呼ばれる重要な関数です。
この記事では，双曲線関数の逆関数について考えます。sinh⁡x\sinh xsinhx
 と
cosh⁡x\cosh xcoshx
 の逆関数の導出については双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の意味・性質・楽しい話題まとめの中盤あたりを参照してください。

tanh xの逆関数

$\tanh x$ の逆関数を導出します。 $\tanh x$ は狭義単調増加なので逆関数を考えることができます。→逆関数の３つの定義と使い分け

導出

$y=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ を $x$ について解くのが目標。変形していく：

$e^xy+e^{-x}y=e^x-e^{-x}$

$e^{2x}(y-1)=-y-1$

$e^{2x}=\dfrac{1+y}{1-y}$

$2x=\log\dfrac{1+y}{1-y}$

$x=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+y}{1-y}$

よって， $y=\tanh x$ の逆関数は， $y=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}$

なお， $\tanh x$ の値域は $(-1,1)$ なので， $\tanh x$ の逆関数の定義域は $-1<x<1$ となります。

略解

x=y=0x=y=0x=y=0
 とすると，2f(0)=f(0)2f(0)=f(0)2f(0)=f(0)
 より
f(0)=0f(0)=0f(0)=0
 が分かる。
さらに，y=−xy=-xy=−x
 とすると
f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x)
 が分かる。
次に，f′(x)f'(x)f′(x)
 を求めるために，f(x+h)−f(x)h\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}hf(x+h)−f(x)​
 について考える（hhh
 は十分
000
 に近い実数）。
f(x+h)−f(x)h=f(x+h)+f(−x)h=1hf(h1−x2−hx)=f(h1−x2−hx)−f(0)h1−x2−hx⋅11−x2−hx\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
=\dfrac{f(x+h)+f(-x)}{h}\\
=\dfrac{1}{h}f\left(\dfrac{h}{1-x^2-hx}\right)\\
=\dfrac{f(\frac{h}{1-x^2-hx})-f(0)}{\frac{h}{1-x^2-hx}}\cdot\dfrac{1}{1-x^2-hx}hf(x+h)−f(x)​=hf(x+h)+f(−x)​=h1​f(1−x2−hxh​)=1−x2−hxh​f(1−x2−hxh​)−f(0)​⋅1−x2−hx1​
これと
f′(0)=1f'(0)=1f′(0)=1
 より，f′(x)=11−x2f'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}f′(x)=1−x21​
これを積分すると，y=12log⁡1+x1−xy=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}y=21​log1−x1+x​
 となる。これは
tanh⁡x\tanh xtanhx
 の逆関数！
この記事のネタは高校時代お世話になった先生に提供していただきました，感謝！

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！

sinhx, coshx, tanhxの逆関数

双曲線関数

tanh xの逆関数

関連する入試問題

略解