ヘルダーの不等式の数学オリンピックへの応用

上記の形のヘルダーの不等式で $X=a^2+8bc,Y=b^2+8ca,Z=c^2+8ab$ を代入すると， $$(\text{左辺})^2 \geq \dfrac{(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}$$

よって， $(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$ を証明すればよい。

左辺を展開すると $[2,1,0]\succeq [1,1,1]$ のMuirheadの不等式そのものになる。（展開したあと，まとめて相加相乗平均の不等式で示すこともできる。）

まず，$a^5+1\geq a^3+a^2$ という不等式が成立することに注意する。

（これは因数分解でも示せるし，Muirheadの不等式を知っていれば $a^5+b^5\geq a^3b^2+a^2b^3$ なので $b=1$ とすればよい。）

これを利用すると，

$$(\text{左辺}) \geq (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)$$

これを，$(a^3+1^3+1^3)(1^3+b^3+1^3)(1^3+1^3+c^3)$ とみなせばヘルダーの不等式が使えて右辺より大きいことが分かる。

$a^3=\dfrac{1}{6}$ とおくと,ヘルダーの不等式より,

$$\begin{aligned} (\text{左辺}) &=(x_1^3+x_2^3+x_3^3+a^3+a^3+a^3+a^3+a^3+a^3)\\ &\quad\quad(a^3+a^3+a^3+y_1^3+y_2^3+y_3^3+a^3+a^3+a^3)\\ &\quad\quad(a^3+a^3+a^3+a^3+a^3+a^3+z_1^3+z_2^3+z_3^3)\\ &\geq a^6(x_1+x_2+x_3+y_1+y_2+y_3+z_1+z_2+z_3)^3\\ &\geq a^6\cdot 27(x_1+y_1+z_1)(x_2+y_2+z_2)(x_3+y_3+z_3) \end{aligned}$$

最終行は相加相乗平均の不等式である。

よって， $A=27a^6=\dfrac{3}{4}$ のとき不等式は成立する。

そして，全ての変数を $a$ とすれば等号が成立するので $A$ を $\dfrac{3}{4}$ より大きくとることはできない。