Hlawka’s Inequality：
任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して，
$|x|+|y|+|z|+|x+y+z|\\
\geq |x+y|+|y+z|+|z+x|$
Hlawka’s Inequality（フラカの不等式）について紹介します。
Hlawka’s Identity
Hlawka’s Inequality を証明する前に，関連する恒等式である Hlawka’s Identity（フラカの恒等式）を紹介します。
Hlawka’s Identity：
任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して，
$|x|^2+|y|^2+|z|^2+|x+y+z|^2\\
= |x+y|^2+|y+z|^2+|z+x|^2$
実際，両辺をそれぞれ展開すると，一致することが簡単に確認できます。
また，Hlawka’s Identity で $z=-y$ として整理すると，
$2|x|^2+2|y|^2=|x+y|^2+|x-y|^2$
あるいは
$|x|^2+|y|^2=\left|\frac{x+y}{2}\right|^2+\left|\frac{x-y}{2}\right|^2$
となり，中線定理（を複素数平面で表現したもの）と一致します。
Hlawka’s Inequality の証明
両辺2乗して，三角不等式を使います。Hlawka’s Identity を知っていると見通しが良いです。
証明
$x=y=z=0$ のときは不等式は成立する。そうでないとき，両辺は正なので2乗しても大小関係は変わらない。
左辺の2乗は，
$(|x|+|y|+|z|+|x+y+z|)^2\\
=|x|^2+|y|^2+|z|^2+|x+y+z|^2\\
+2|x||y|+2|y||z|+2|z||x|+2(|x|+|y|+|z|)|x+y+z|$
右辺の2乗は，
$(|x+y|+|y+z|+|z+x|)^2\\
=|x+y|^2+|y+z|^2+|z+x|^2\\
+2|x+y||y+z|+2|y+z||z+x|+2|z+x||x+y|$
となる。Hlawka’s Identity より，それぞれの1行目が打ち消し合う。さらに，$|x||y|=|xy|$ より，示したい不等式は，
$|xy|+|yz|+|zx|\\
+|z(x+y+z)|+|x(x+y+z)|+|y(x+y+z)|\\
\geq |(x+y)(y+z)|+|(y+z)(z+x)|+|(z+x)(x+y)|$
となる。
これは，以下の3つの三角不等式を足し上げることで導かれる：
$|xy|+|z(x+y+z)|\geq |(z+x)(z+y)|$
$|yz|+|x(x+y+z)|\geq |(x+y)(x+z)|$
$|zx|+|y(x+y+z)|\geq |(y+x)(y+z)|$
※$AB+C(A+B+C)=(C+A)(C+B)$ という式はたまに使うので覚えておくとよいでしょう。
集合の要素数についての等式との関係
三角不等式：
$|x|+|y|-|x+y|\geq 0$
と，集合の要素数についての公式から導かれる不等式：
$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\geq 0$
はなんとなく似ています。
Hlawka’s Inequality：
$|x|+|y|+|z|+|x+y+z|\\
-|x+y|-|y+z|-|z+x|\geq 0$
と，集合の要素数についての公式から導かれる不等式：
$|A\cup B\cup C|\\
=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C|\\
-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|\geq 0$
はなんとなく似ています。
※「または」と「かつ」を交換した等式：
$|A\cap B\cap C|\\
=|A|+|B|+|C|+|A\cup B\cup C|\\
-|A\cup B|-|B\cup C|-|C\cup A|\geq 0$
の方が，より Hlawka’s Identity に似ていると感じる方もいるでしょう。
（包除原理の２通りの証明の記事末参照）
Hlawka’s Inequality の一般化
内積空間 $V$ とその任意の元 $x,y,z\in V$ に対して，
$\|x\|+\|y\|+\|z\|+\|x+y+z\|\\
\geq \|x+y\|+\|y+z\|+\|z+x\|$
（ただし，$\|\cdot\|$ は内積により誘導されるノルム）
参考文献：
[1]Hlawka’s Inequality
[2]CONVEX FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS P101