最終更新:2020/01/16

Hlawka’s Inequality とその証明

分野: 不等式  レベル: マニアック    

Hlawka’s Inequality:
任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して,
$|x|+|y|+|z|+|x+y+z|\\
\geq |x+y|+|y+z|+|z+x|$

Hlawka’s Inequality(フラカの不等式)について紹介します。

Hlawka’s Identity

Hlawka’s Inequality を証明する前に,関連する恒等式である Hlawka’s Identity(フラカの恒等式)を紹介します。

Hlawka’s Identity:
任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して,
$|x|^2+|y|^2+|z|^2+|x+y+z|^2\\
= |x+y|^2+|y+z|^2+|z+x|^2$

実際,両辺をそれぞれ展開すると,一致することが簡単に確認できます。

また,Hlawka’s Identity で $z=-y$ として整理すると,
$2|x|^2+2|y|^2=|x+y|^2+|x-y|^2$
あるいは
$|x|^2+|y|^2=\left|\frac{x+y}{2}\right|^2+\left|\frac{x-y}{2}\right|^2$
となり,中線定理(を複素数平面で表現したもの)と一致します。

Hlawka’s Inequality の証明

両辺2乗して,三角不等式を使います。Hlawka’s Identity を知っていると見通しが良いです。

証明

$x=y=z=0$ のときは不等式は成立する。そうでないとき,両辺は正なので2乗しても大小関係は変わらない。

左辺の2乗は,
$(|x|+|y|+|z|+|x+y+z|)^2\\
=|x|^2+|y|^2+|z|^2+|x+y+z|^2\\
+2|x||y|+2|y||z|+2|z||x|+2(|x|+|y|+|z|)|x+y+z|$

右辺の2乗は,
$(|x+y|+|y+z|+|z+x|)^2\\
=|x+y|^2+|y+z|^2+|z+x|^2\\
+2|x+y||y+z|+2|y+z||z+x|+2|z+x||x+y|$

となる。Hlawka’s Identity より,それぞれの1行目が打ち消し合う。さらに,$|x||y|=|xy|$ より,示したい不等式は,
$|xy|+|yz|+|zx|\\
+|z(x+y+z)|+|x(x+y+z)|+|y(x+y+z)|\\
\geq |(x+y)(y+z)|+|(y+z)(z+x)|+|(z+x)(x+y)|$
となる。

これは,以下の3つの三角不等式を足し上げることで導かれる:
$|xy|+|z(x+y+z)|\geq |(z+x)(z+y)|$
$|yz|+|x(x+y+z)|\geq |(x+y)(x+z)|$
$|zx|+|y(x+y+z)|\geq |(y+x)(y+z)|$

※$AB+C(A+B+C)=(C+A)(C+B)$ という式はたまに使うので覚えておくとよいでしょう。

集合の要素数についての等式との関係

三角不等式:
$|x|+|y|-|x+y|\geq 0$
と,集合の要素数についての公式から導かれる不等式:
$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\geq 0$
はなんとなく似ています。

Hlawka’s Inequality:
$|x|+|y|+|z|+|x+y+z|\\
-|x+y|-|y+z|-|z+x|\geq 0$
と,集合の要素数についての公式から導かれる不等式:
$|A\cup B\cup C|\\
=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C|\\
-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|\geq 0$
はなんとなく似ています。

※「または」と「かつ」を交換した等式:
$|A\cap B\cap C|\\
=|A|+|B|+|C|+|A\cup B\cup C|\\
-|A\cup B|-|B\cup C|-|C\cup A|\geq 0$
の方が,より Hlawka’s Identity に似ていると感じる方もいるでしょう。
包除原理の2通りの証明の記事末参照)

Hlawka’s Inequality の一般化

内積空間 $V$ とその任意の元 $x,y,z\in V$ に対して,
$\|x\|+\|y\|+\|z\|+\|x+y+z\|\\
\geq \|x+y\|+\|y+z\|+\|z+x\|$
(ただし,$\|\cdot\|$ は内積により誘導されるノルム)

参考文献:
[1]Hlawka’s Inequality
[2]CONVEX FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS P101

基本的には3変数で対称な不等式が好きですが,こういう違うタイプの不等式も楽しいです。