ガンマ分布の意味と期待値、分散

ガンマ分布は， 期間 $\mu$ ごとに1回くらい起こるランダムな事象が $n$ 回起こるまでの時間の分布を表します（理由は後述）。

例えば「10年に一度の割合でランダムに起こるイベントが3回起こるまでに何年かかるか」という問題には「期待値は30年。確率分布としてはパラメータが $\mu=10$ ，$n=3$ のガンマ分布が対応」と答えることができます。

ガンマ分布が，ランダムな事象が $n$ 回起こるまでの時間の分布であることは以下の2つから分かります。

1. 指数分布は期間 $\mu$ ごとに1回くらい起こるランダムな事象が $1$ 回起こるまでの時間の分布を表す。

2. $X_1,X_2,\cdots,X_n$ が互いに独立に平均 $\mu$ の指数分布に従うとき，$Y=X_1+X_2+\cdots +X_n$ はパラメータが $\mu$ と $n$ のガンマ分布に従う。

定理1の導出は指数分布の意味と具体例を参照してください。

定理2の導出は「帰納法＋確率密度関数の畳込みの計算」でできます。モーメント母関数を使ってもできます（詳細は省略します）。

ガンマ分布の期待値は $n\mu$，分散は $n\mu^2$ です。

導出方法は3通りあります。

1. 定義に従って確率密度関数から計算

2. モーメント母関数から計算

3. 指数分布との関係で述べた定理2を使って計算（$n$ が整数の場合のみ使える）

ここでは3つめの方法で計算してみます。

• ガンマ分布は $n$ が整数でない場合についても考えることができます。$n\to \dfrac{n}{2}$，$\mu\to 2$ とすれば自由度 $n$ のカイ二乗分布になります。→正規分布の二乗和がカイ二乗分布に従うことの証明

• ガンマ分布は正規分布の精度（分散の逆数）の共役事前分布です。

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