有限体（ガロア体）の基本的な話

位数が有限である体を有限体（またはガロア体）と言います。大雑把に言うと，四則演算ができる有限集合のことです。

位数が $q$ である有限体（実は，同型を除いて一通りに定まる）を $F_q$ ，$GF(q)$ などと表記します。

具体例として，位数が $2$ の有限体について考えてみます。

$\{0,1\}$ という，要素数が $2$ の有限集合を考えます。そして，四則演算を「整数の世界で四則演算をして，それを $2$ で割った余り」と定義します。例えば，$1+1=0$ ，$1\times 0=0$ ，$0-1=1$ という感じです。

この定義は四則演算が満たすべき性質（体の公理）を満たしているので，有限体になっています！

より一般に，位数が素数 $p$ である有限体は，

• $\{0,1,\cdots,p-1\}$ という集合，

• 「整数の世界で足し算（引き算，かけ算）をして，それを $p$ で割った余り」という足し算（引き算，かけ算），

• $a\times x=b$ を満たす $x$ を $b\div a$ とするような割り算

を考えることで構成できます。

そして，位数が $p$ である体は同型を除いて一つであることが知られています。つまり，位数が $p$ である体は本質的に上で構成したものしかないということです。

では，さきほどと同様に，位数が $4$ の有限体を構成できないか，考えてみます。 $\{0,1,2,3\}$ という集合を考えます。

実は，残念ながら例えば $1\div 2$ が定義できません。 $2\times x=1$ を満たす $x$ が存在しないからです。

なお，位数が素数 $p$ の場合には，

任意の $a\in \{1,\cdots, p-1\},b\in\{0,1,\cdots,p-1\}$ に対して，$ax\equiv b\pmod{p}$ を満たす整数 $x\in \{0,1,\cdots,p-1\}$ がただ一つ存在する

という性質がある（高校数学で簡単に証明できる）ため，このような問題は起こりません。

上の方法では位数 $4$ の体は構成できませんでしたが，別の方法で構成できます。より一般に，位数が素数のべき乗である有限体は，既約多項式というものを用いて構成できます。

また，位数が素数のべき乗でないような有限体は存在しません。