フーリエ級数展開の公式と意味

〜 $a_0$ について〜

$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos \dfrac{2\pi n x}{T}+b_n\sin \dfrac{2\pi nx}{T}\right)$

の両辺を $0$ から $T$ まで積分すると（右辺の周期関数の積分が全て $0$ になるので），$\displaystyle\int_0^{T}f(x)dx=\dfrac{a_0}{2}T$

つまり，$a_0=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^Tf(x)dx$

〜 $a_n$（$n\geq 1$）について〜

$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos \dfrac{2\pi n x}{T}+b_n\sin \dfrac{2\pi nx}{T}\right)$

の両辺に $\cos\dfrac{2\pi nx}{T}$ をかけて $0$ から $T$ まで積分すると，$\displaystyle\int_0^Tf(x)\cos\dfrac{2\pi nx}{T}dx=\dfrac{a_n}{2}T$ （→注1）

より $a_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\cos\dfrac{2\pi nx}{T}dx$

〜 $b_n$ について〜

同じように両辺に $\sin\dfrac{2\pi nx}{T}$ をかけて $0$ から $T$ まで積分するとOK。

フーリエ係数を求める。周期性に注意すると $0$ から $2\pi$ までの積分値は $-\pi$ から $\pi$ までの積分値と等しいことが分かる。

$a_0=\dfrac{2}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\dfrac{2}{3}\pi^2$

$a_n=\dfrac{2}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos nxdx$ ，瞬間部分積分を用いて計算すると $a_n=(-1)^n\dfrac{4}{n^2}$

$b_n=\dfrac{2}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin nxdx$ であり，被積分関数は奇関数なので $b_n=0$

つまり， $f(x)=\dfrac{\pi^2}{3}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac{4}{n^2}\cos nx$

ちなみにこの式に $x=\pi$ を代入すると $\pi^2=\dfrac{\pi^2}{3}+4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$

となり，有名な級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$ を得ます。→バーゼル問題の初等的な証明