全称記号(任意の〜)と存在記号(ある〜)

更新:19/04/19
分野: 集合,命題,論証  レベル: 大学数学

「任意の」とは「全ての」という意味です。$\forall$ という記号を使って表すことがあります。

この記事では,数学でよく使う「任意の」と「ある」という言葉,そしてそれらを表す記号 $\forall$,$\exists$ について解説します。

「任意の」の意味と記号

「任意の」とは「全ての」という意味です。例えば,
任意の実数 $x$ に対して,$x^2\geq 0$
のように使います。

$\forall$ という記号は「任意の」を表します。$\forall$ のことを全称記号と言います。

例えば,上の例は $\forall$ を使うと
$\forall x\in \mathbb{R}$,$x^2 \geq 0$
と書くこともできます。
ただし,$\mathbb{R}$ は実数全体の集合を表します。

「ある」の意味と記号

一方,$\exists$ という記号は「ある(〜〜が存在する)」と言う意味を表します。$\exists$ のことを存在記号と言います。

$\exists x\in \mathbb{C}$,$x^2 < 0$
(ある複素数 $x$ が存在して,$x^2 < 0$)
のように使います。

ただし,$\mathbb{C}$ は複素数全体の集合を表します。

全称記号 $\forall$ と存在記号 $\exists$

$\forall$ と $\exists$ という記号は高校数学では使いませんが,大学に入るといきなり登場します。

$\forall$ は「任意の」と読む人が多いです。texでは\forallと打ちます。Allの頭文字Aをひっくり返した形です。

$\exists$ はtexでは\existsと打ちます。Existの頭文字Eをひっくり返した形です。

「任意の」と「ある」の否定

「任意の〜〜に対して◯◯である」の否定は「ある〜〜が存在して◯◯でない」です(非常に重要です,理解できない人は理解できるまでしつこくゆっくり考えて下さい)。

  • $\forall x\in \mathbb{R}$,$f(x)\geq 0$ の否定は $\exists x\in \mathbb{R}$,$f(x) < 0$
  • $\exists x\in \mathbb{R}$,$g(x)=0$ の否定は $\forall x\in \mathbb{R}$,$g(x)\neq 0$

つまり,$\forall$ または $\exists$ を含む命題の否定を作るには, $\forall$ と $\exists$ を交換して後ろの命題を否定すればよいというわけです。慣れれば素早く否定命題を作れるので便利です(与えられた命題の否定を素早く作ることは背理法や対偶法で証明する際に重要になります)。

より複雑な例

解析学におけるイプシロンデルタ論法では $\forall$,$\exists$ が連発します。

$\forall \varepsilon > 0$,$\exists \delta> 0$,$\forall x$,$|x-a|<\delta$ なら $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$
(任意の正の実数 $\varepsilon$ に対して,ある正の実数 $\delta$ が存在して「 $|x-a|<\delta$ なら $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ 」が成立)

この命題の否定は,
$\exists \varepsilon > 0$,$\forall \delta> 0$,$\exists x$,$|x-a|<\delta$ かつ $|f(x)-f(a)|\geq \varepsilon$
(あるの正の実数 $\varepsilon$ が存在して,任意の正の実数 $\delta$ に対して「 $|x-a|<\delta$ かつ $|f(x)-f(a)|\geq\varepsilon$ となる $x$ が存在する」が成立)

「任意の」は顔文字でよく見ます(・∀・)( ゚∀゚)( ´∀`)