指数分布の意味と具体例

$\Delta x$ が十分小さいとき，時刻 $x$ から $x+\Delta x$ の間にイベントが発生する確率を二通りの方法で求める。

・確率密度関数の定義により $f(x)\Delta x$

・（時刻 $x$ までイベントが起こらない確率）×（それから $\Delta x$ の間に起こる確率）

＝ $(1-\displaystyle\int_0^xf(t)dt)\times \dfrac{1}{\mu}\Delta x$

ただし「発生間隔の平均が $\mu$ であるランダムなイベント」が「時間 $\Delta x$ の間に起こる確率」は $\dfrac{1}{\mu}\Delta x$ であることを用いた。

よって，

$f(x)=\dfrac{1}{\mu}-\dfrac{1}{\mu}\displaystyle\int_0^{x}f(t)dt$

両辺を $x$ で微分すると，

$f'(x)=-\dfrac{1}{\mu}f(x)$

この微分方程式を解くと，$f(x)=Ce^{-\frac{x}{\mu}}$

確率密度関数であるので $\displaystyle\int_0^{\infty} f(x)dx=1$ となるように定数 $C$ を定めると，$C=\dfrac{1}{\mu}$ を得る。

つまり，$f(x)=\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}$

$\displaystyle\int_0^{\infty}f(x)dx=[-e^{-\frac{x}{\mu}}]_0^{\infty}=1$ よりOK。

$E[X]=\displaystyle\int_0^{\infty}xf(x)dx\\ =\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}dx\\ =\left[-xe^{-\frac{x}{\mu}}\right]_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-\frac{x}{\mu}}dx\\ =0+\left[-\mu e^{-\frac{x}{\mu}}\right]_0^{\infty}\\ =\mu$

$E[X^2]=\displaystyle\int_0^{\infty}x^2f(x)dx\\ =\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^2}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}dx\\ = \dfrac{1}{\mu}\left(\left[x^2\left(-\mu e^{-\frac{x}{\mu}}\right)\right]_0^{\infty} + \displaystyle\int_0^{\infty} 2x\mu e^{-\frac{x}{\mu}} dx\right)\\ = 2\mu \displaystyle\int_0^{\infty} \dfrac{x}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}} dx\\ = 2\mu \cdot \mu\\ = 2\mu^2$

よって，

$V[X] = E[X^2] - \left\{E[X]\right\}^2\\ = 2\mu^2 - \mu^2\\ = \mu^2$