偶関数と奇関数の意味，性質などまとめ

まず積分区間を分解する。

$\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)dx=\displaystyle\int_{-a}^0f(x)dx+\int_0^af(x)dx$

次に第一項を置換積分する。 $y=-x$ と置換すると，第一項は

$\displaystyle\int_{a}^0f(-y)(-1)dy=\displaystyle\int_0^af(-y)dy$

・ $f(x)$ が偶関数のとき

$f(-y)=f(y)$ より $\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^af(x)dx$

・ $f(x)$ が奇関数のとき

$f(-y)=-f(y)$ より，第一項と第二項が打ち消し合って $\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$ となる。

$(x^3+x^2+1)^2-x^6-x^4=1+2x^5+2x^2+2x^3$ だが，上記公式を用いると偶数次の項のみが残って以下を得る：

$S=2\displaystyle\int_{0}^1(2x^2+1)dx$

これを計算すると，$2\left(\dfrac{2}{3}+1\right)=\dfrac{10}{3}$ となる。

奇関数×奇関数＝偶関数のみ証明する。他も同様。

$f(x),g(x)$ が奇関数のとき，$f(x)=-f(-x),g(x)=-g(-x)$ であるので，

$f(x)g(x)=-f(-x)\cdot \{-g(-x)\}=f(-x)g(-x)$

となる。つまり $f(x)g(x)$ は偶関数である。