オイラーの定理（内心と外心の距離）とオイラーの不等式の証明を3通りずつ

図で $M$ は $AI$ と外接円の交点，$D$ は $OM$ と外接円の交点，$N$ は $AB$ と内接円の接点，$P$ と $Q$ は $OI$ と外接円の交点である。

$(R-d)(R+d) ＝PI×IQ\\ ＝AI×IM・・・（1）\\ ＝AI×BM・・・（2）\\ ＝DM×NI・・・（3）\\ ＝2Rr$

この式を整理するとオイラーの定理を得る。ただし，

• （1）への変形は，方べきの定理から

• （2）への変形は，
  $∠BIM＝∠BAM＋∠ABI\\＝∠MAC＋∠IBC\\＝∠MBC＋∠IBC＝∠IBM$
  より $IM=BM$ から

• （3）への変形は，△ $ANI$ と△ $DBM$ が以下の理由より相似だから

  • 円周角の定理から $∠NAI＝∠BDM$
  • 内心,外心の定義から $∠ANI$ も $∠DBM$ も直角

$AI\times BM=2Rr$ を証明する。

三角形の五心と頂点までの距離の公式より，$AI=4R\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$

また，三角形 $OBM$ に注目すると，$BM=2R\sin\dfrac{A}{2}$

よって，$AI\times BM=8R^2\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$

さらに，外接円の半径と内接円の半径の関係： $r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$ を用いると $AI\times BM=2Rr$ が分かる。

内心の位置ベクトルの公式より，$\overrightarrow{OI}=\dfrac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c}$

次に長さを計算するために長さと内積を求める。

$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=R$ および，

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角が $2C$ であることから，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=R^2\cos 2C$ などが分かる。

よって，$|\overrightarrow{OI}|^2=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)R^2+2R^2(ab\cos 2C+bc\cos 2A+ca\cos 2B)}{(a+b+c)^2}$

ここで，倍角の公式と正弦定理を用いて角の情報を辺の情報に変換する：

$2R^2\cos 2C=R^2(2-4\sin^2 C)=2R^2-c^2$

などより，

$|\overrightarrow{OI}|^2=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)R^2+2R^2(ab+bc+ca)-abc(a+b+c)}{(a+b+c)^2}$

• 分子の前半二項をまとめると $(a+b+c)^2R^2$ となる
• 最終項については，$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$ および $S=\dfrac{abc}{4R}$（→外接円の半径と三角形の面積の関係）より，
  $\dfrac{abc}{a+b+c}=4RS\cdot\dfrac{r}{2S}=2Rr$

以上から $|\overrightarrow{OI}|^2=R^2-2Rr$ となり，オイラーの定理が示された。

$r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$

およびイェンゼンの不等式を使うとわかる。→外接円の半径と内接円の半径の関係

三角形 $AOC$ の面積を $|AOC|$ などと書く。鋭角三角形の場合を証明する（鋭角三角形の場合が証明できれば鈍角三角形の場合も簡単。例えば，$R$ を変化させる $r$ を大きくしたような鋭角三角形を構築できる）。

$|AOC|=\dfrac{1}{2}R^2\sin 2B$ などより

$|AOC|+|BOC|\\ =\dfrac{1}{2}R^2(\sin 2B+\sin 2A)\\ \leqq R^2\sin(A+B)\\ =R^2\sin C\\ =\dfrac{Rc}{2}$

ただし，途中の不等号はイェンゼンの不等式。このような不等式を3つ作って加えると， $$2|ABC|\leqq \dfrac{R}{2}(a+b+c)$$

一方 $$|ABC|=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$$

以上2式より $R\geqq 2r$

証明2とほぼ同様。 $$|AOC|+|BOC|\leqq \dfrac{R}{2}c$$ は以下のように図形的に示すこともできる： （$D$ は「$CD$ と $AB$ が平行」で「$OD$ と $AB$ が垂直」になるような点）

$|AOC|+|BOC|\\ =|AOD|+|BOD|\\ =OD\times c\times\dfrac{1}{2}\\ \leqq OC\times \dfrac{c}{2}\\ =\dfrac{R}{2}c$