恒等式に関する入試問題のパターンと背景

「以下の恒等式を証明せよ」というタイプの問題は，両辺を展開することで必ず証明できます。

• （左辺）を変形して（右辺）に持っていく方法を考えるよりも，機械的に確実に解くことができるので，「恒等式の証明問題は式を展開する問題」と意識しておきましょう。
• これくらいの難易度だとどの方針でも簡単に証明できますが，より複雑な式になったときに格好いい方法を考えるよりもひたすら展開するのが確実に解けるのでおすすめです。
• このようにただ展開するだけで解くことができるので，恒等式の証明問題は簡単な場合が多いです。
• ただし，場合によっては展開だけでなく両辺を二乗してルートを消したり分母を払う必要もあります。
• ちなみに上記の例題はブラーマグプタの恒等式と呼ばれる有名な恒等式です。

まずは解答です。分母を払って展開すると，

$1=(a+b)x-5a-2b$

係数比較して，$a+b=0,-5a-2b=1$

これを解いて $a=-\dfrac{1}{3}, b=\dfrac{1}{3}$

• このように，恒等式となるように係数を定める問題は，「式を整理→係数比較→連立方程式を解く」という手順で確実に解けます。
• 場合によっては係数比較より特定の数値を代入したほうが少し早く解けますが，係数比較で100％解けるので迷う暇があれば愚直に係数比較して連立方程式を解きましょう。
• ちなみに，この問題の背景は部分分数分解です。→部分分数分解の3通りの方法

次のパターンも入試では頻出です。

• 定石通り「式を整理→係数比較→連立方程式を解く」で解けます。
• このように $x$ の多項式を $\displaystyle\sum_{k} c_k(x-a)^k$ の形で表すことを $x=a$ で展開すると言います。
• このタイプの問題はマクローリン展開と関係しており，実は簡単に解くことができます。具体的には，$x=a$ における関数の値，微分係数，二回微分係数 $\cdots$ を比較すればよいです。例えば，上記の問題では，左辺を $f(x)$ とおくと，$b=f(2), a=f'(2)$ が答えです！

ある多項式の二乗の形で表される多項式を完全平方式と呼びます。完全平方式 $=0$ という形の方程式は，解くべき方程式の次数を下げることができるので，一般の多項式よりは嬉しいです。

そのような嬉しい多項式に変形できるような $a,b$ を求めようという趣旨の問題でした。