包絡線の求め方と例題

曲線群を表す方程式： $y-2tx+t^2=0$

それを $t$ で微分したもの： $-2x+2t=0$

この二式を連立させて $t$ を消去する。二つ目の式より $t=x$ となりこれを一つ目の式に代入すると，$y=x^2$ という包絡線の方程式が得られる。

（天下り的だが）$y=x^3$ の $(2t,8t^3)$ における接線の方程式は

$y-8t^3=12t^2(x-2t)$

つまり

$y=12t^2x-16t^3$

よって求める領域は $y=x^3$ における接線で接点の $x$ 座標が非負のものをかき集めたものの通過領域である。式で書くと，$y\leqq 0$ または $0 < y\leqq x^3$ 。図示は簡単なので略。

曲線群： $y=12t^2x-16t^3$

$t$ で微分： $0=24tx-48t^2$

この二つの式から $t$ を消去する。二つ目の式より $t=\dfrac{x}{2}$，一つ目の式に代入して $y=x^3$

包絡線は分かった。次に接点を求める。 $y=x^3$ の $(s,s^3)$ における接線の方程式は $y=3s^2x-2s^3$ である。これと問題文の式を比較して $s=2t$ とする。以上の議論から $y=x^3$ の $(2t,8t^3)$ における接線の方程式を考えればよいことが分かる！

「$f(x,y,t)=0$ について $t$ を一つ固定した曲線」と「求めたい包絡線」の接点を $(x(t),y(t))$ とおく。$x(t)$ と $y(t)$ の関係式を導くのが目標である。

まず，接点ももとの曲線上にあるので $f(x(t),y(t),t)=0$ である。

次に $(x(t),y(t))$ において接することを式で表す。もとの曲線の法線方向が $(f_x(x,y,t),f_y(x,y,t))$ であることと包絡線の接線方向が $(x'(t),y'(t))$ であること(→補足)から，$f_xx'(t)+f_yy'(t)=0$

また，1の式を $t$ で微分すると連鎖律より $f_xx'(t)+f_yy'(t)+f_t=0$

この二式より $f_t(x(t),y(t),t)=0$

$x,y,t$ の関係式が二つ求まったので $t$ を消去すれば $x$ と $y$ の関係式，つまり包絡線の方程式が求まる。